第一章 利息基本计算

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1、第一章 利息基本计算利息的定义1 从债权债务关系的角度看，利息是借贷关系中债务人为取得资金使用权而支付给债权人的报酬。2 从简单的借贷关系的角度看，利息是一种补偿，由借款人支付给贷款人。3 从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。第一节 利息基本函数1 原始资本（或本金）：在投资活动中，某一方投资一定量的货币。2 总量函数：（定义 1.1）设用 A(t)表示原始投资 A（0）经过时间 t（t0 ）( 事先给定时间度量单位)后的价值，则当 t 变动时称 A(t)为总量函数。3 利息：（定义 1.2）总量函数 A（t）在时间段 内的变化量（增量）称为期初货币量,21t

2、A( )在时间段 内的利息，记为 ，即1t,21t21,tI= （1.1.1）21,tI)(A特别地，当 时，)(,21Nntt记 = 。 （1.1.2）nI)()并称 为第 n 个时间段内的利息。1.1.1 累积函数1 累积函数（定义 1.3）:设 1 个货币单位的本金在 t（ ）时刻的价值为 a(t), 则o当 t 变动时称 a(t)为累积函数 。显然有累积函数与增量函数的关系： )(0)(taAt2 累积函数的基本性质：1）a(0)=12) a(t)为递增函数。说明：若累积函数为减函数，则说明将产生负利息，即货币贬值；累积函数为常数，则说明无利息。3 常见的累积函数 a(t)的种类：1）

3、常数函数 。1)(ta2）一般的线性函数 kt3） 二次函数： 21)(t4）指数函数： kta4 利率：度量利息的常用方式是计算利率。1）文字定义：是指一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值。2）数学定义：给定时间区间 内的总量函数 A(t)的变化量（增量）与期初,21t货币量的比值称为在时间区间 内的利率，记为 （注意与利息记号的区别）即：,21t21,ti= （1.1.3）21,ti )()(1,122tAItA（特别地，当 时，记,2Nn= （1.1.4）ni )1()1(IA通常称 为第 n 个时段的利率。i从而 (此式为递推公式 )，可得到：)1()n

4、iAn（记住！后面用到）nkiA1k)(0)(5 实利率：如果计息期为标准的时间单位（如月、季、半年或年）则所对应的利率常常称为实利率。除特别说明外，以下实利率一般皆指年利率。说明：1） 利率表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量。2） 利率通常用百分数表示。3） 利率的定义要求在计息期内没有其它资本的投入，也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变。4） 利息是在计息期期满时支付的。6 结论 1.1 某个计息期 内的利率为单位本金在该计息期内的利息与期初资本,21t量的比值，即：= （1.1.5）21,ti)(1ta证明： =21,ti )(0)()(121taAtA)(12ta1.1.2

5、 单利和复利1 单利：若有这样一种累积计算方式：1 个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式，简称单利方式，对应的利息称为单利。结论 1.2 在单利方式下有： （1.1.6）Ztita,1)(其中 为 1 个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利息，一般称为单利率。i证明：。说明：1） 在单利方式下，利息与经过的时间成正比。2） 在单利方式下，（1.1.7）)0,(1)()( tstasta该式说明经过时间 s+t 产生的利息等于经过时间 s 产生的利息与经过时间 t产生的利息之和。注：若 a(t)满足式 1.1.7，则 a(t)满足式

6、 1.1.6（证明）3） （1.1.8）)0,(1)()( tstasta该式说明经过相同长度 t 的计息期所产生的利息相同。3） 在单利方式下的实利率是随计息期变化的。 Nninain )1()1(即每个单位时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的。2 复利定义 1.6 若有这样一种累积计算方式： 1 个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式，简称复利方式，对应的利息称为复利。对复利方式，在投资期间的每个时刻，过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一个时刻的再投资，即利滚利。结论 1.3 在复利方式下有： （1.1.9）tita)1(

7、Z其中 为 1 个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利率，一般称为复利率。i证明：因为： tnniA1)(0)(所以， tntiia1)()说明：在复利方式下，累积函数满足条件：(1.1.10)0,()()( tststa注：若 a(t)满足式 1.1.10，则 a(t)满足式 1.1.9（证明）即： （1.1.11）1)()(tast上式说明，经过相同长度 t 的计息期所产生的 利率相同。3 单利方式与复利方式的区别：1）短期内两种方式计算的利息差异不大。2）当货币量的数额增大时，两种方式计算的利息差异也会增大。3）复利方式几乎用于所有的金融业务，单利方式只是用于短期计算或不足期的近似计算

8、。特别说明：今后除特别说明，一般考虑复利计算方式。例 1.1 设年利率为 5%，比较单利方式与复利方式的异同效果。解：见 p6-71.1.3 贴现函数1 贴现函数（定义 1.7）若 t（ ）时刻的 1 个货币单位在 0 时刻的价值记为0，则当 t 变动时，称 为贴现函数。)(ta )(1a注：在单利方式下有 = （ ）（1.1.12）t1)itt在复利方式下有 = （ ）（1.1.13）(1t0说明：由累积函数与贴现函数的计算公式知：累积函数与贴现函数互为倒数（无论是单利方式还是复利方式） 。2 贴现率（定义 1.8）计息期 内的利息与期末货币量的比值称为在时间区间,21t内的贴现率，记为 ,

9、即：,1t 21td=21,td)()(2,21tAItA（特别地，当 时，记,1Nn= （1.1.14）nd)(1)()(aIA)(Nn注明：在进行投资时，选择利息越高越好；同样也是选择贴现率越高的，收益越高。3 复贴现率：若每个计息期内的贴现率相同，则称该相同的贴现率为复贴现率，对应的贴现模式称为复贴现模式，一般用 d 表示复贴现率。 Nnnan)1()()1()(4 贴现因子：称 为贴现因子，其中 为实利率。用 表示。即iiv= 。 （于是 ）v1)(itv)(15 终值与现值： 称 为 1 个货币单位的本金在第 t 个计息期末的终值（简称tiAV）; 称 为第 t 个计息期末 1 个货

10、币单位在 0 时刻的现值（简称 PV） 。tv注：现值与终值的名称往往就隐含着复利方式。6 利率和贴现利率等价（定义 1.11）：若相同的原始本金经过相同的计息期按利率和贴现利率计算的终值相同。即它们满足：复利方式下： ttdita)1()(单利方式下： tt证明：因在单利方式下， )()3(2)1(dtaiiai所以， 所以，itta)( dti所以，在单利方式下， 1)(7 利率与贴现率的关系（结论 1.4）在任一个计息期内，利率与贴现率有如下关系：（1） iddi )2(证明：（1）设期末货币量为 1，则该计息期内的利息是 d,于是期初货币量为 1-d,所以该式成立。（2）设期初货币量为

11、 1，则期末货币量为 1+i，所以该式成立。8 利率、贴现率和贴现因子的关系（结论 1.5）：在任一个计息期内，利率、贴现率和贴现因子有如下关系：（1）贴现率是同期期末的利率用贴现因子贴现到期初的值，即：（ ）ivddiii1)(（2）贴现率与贴现因子互补，即）iv(1（3）利率与贴现率的差等于利率与贴现率的积，即 )1(idiidid例 1.2 现有面额为 100 元的债券，在到期前 1 年的时刻其价值为 95 元。同时 1 年定期储蓄利率为 5.25%。讨论如何进行投资选择。解：比较贴现率：债券的贴现率 %510d储蓄的贴现率 98.4i所以应进行投资债券。比较利率：债券的利率： )1(2

12、6.519di 储蓄的利率：i=5.25%所以，应进行投资债券。1.1.4 名利率和名贴现率1 名利率或挂牌利率：若在单位计息期内利息依利率 换算 次，则称)()Nmi为 换算名利率或挂牌利率。)(mi例如 ，表示在一年内利息依利率 1%换算 4 次，即 4%为季换算名利率，%4)(i都表示每个季度换算一次利息，且每个季度的实际利率为 1%。一年的实际利率 i 与 4 次换算的名利率有下列关系：。一般地有下列结论：)(1i2 结论 1.6 相同单位计息期内的利率 i 与 m 换算名利率 有下列关系：)(mimii)1(即： 1)(1)()(mmiiii或3 结论 1.7 相同单位计息期内的贴现

13、率 d 与 p 换算名贴现率 有如下关系：)(pdpd)1(即： )1()()( ppp dd或4 结论 1.8 相同单位计息期内的 m 换算名利率 与 p 换算名贴现率 有下列关)(mi )(pd系： pmdi)1()(证明: 再有结论 1.6 和 1.7 即证。i1注：在上式中，若 m=p，则有如下关系：（1.1.16）1)()(1mdi上式说明名利率和名贴现率在每个换算期内是等价的。注：由 1.1.16 得到：（1.1.17）idm)()（该式表明，名贴现率的倒数与名利率的倒数之差为常数，且该常数只与换算次数m 有关，与利率水平无关。例 1.3 现有以下两种 5 年期的投资方式：方式 A

14、：年利率为 7%，每半年计息一次；（说明 7%为 2 次换算的名利率）方式 B：年利率为 7.05%,每年计息一次。比较两种投资方式的收益进而确定投资选择。解：比较年实际利率：方式 A 高于方式 B 的年实际利率 7.05%，%125.7)21(i故应选择方式 A 进行投资。比较 5 年到期的终值：方式 A 1 个货币单位到期的终值： 4106.20）（方式 B 1 个货币单位到期的终值： 58).71(5故应选择方式 A 进行投资。1.1.5 连续利息计算1 利息力函数 （定义 1.13）设累积函数 为 t 的连续可微函数，则称函数)(a)0为累积函数 对应的利息力函数，并称利息力函数在各个

15、时刻的值为）tat()0)(ta利息力。2 累积函数、贴现函数和利息力函数的关系（1.1.19）0)exp()0tdstt（1.1.20）1ats说明：在复利方式下，利息力函数为常数 。常数利息力一般用 表示。)1ln(it（ 3 贴现力函数： 设累积函数 为 t 的连续可微函数，则称函数)(a)0 ()1）tat为累积函数 对应的贴现力函数，并称贴现力函数在各个时刻的值为贴现力。)0(t)(t说明：贴现力与利息力相等，即: tt4 结论 1.9 如果利息力函数为常数，则：（1）tt etaeta )()(1（2） )1ln(llndvii 或（3） d 证明：。5 结论 1.10 在相同单位计息期内，名利率 ，名贴现率 与常数利息力 有如下关系：)(mi)(pd（1） )1()2()1( )()( ppm eei （3） idd mpm ( 4lil 证明：（1）由结论 1.6 知： 1)()(