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1、 0 目录 1.行列式的定义、性质和特殊行列式 .1 1.1 N级行列式的定义.1 1.2 行列式的性质 .1 1.3 特殊行列式 .2 2 求解行列式.3 21 求解行列式的一般技巧 .3 2.11 用定义计算行列式 .3 2.1.2 利用行列式性质计算行列式 .4 2.1.3 降阶法 .6 2.1.4 加边法（升阶法） .7 2.1.5 递推法 .8 2.1.6 数学归纳法 .10 2.1.7 利用范德蒙德行列式 .11 2.2 解行列式的其他方法.12 2.2.1 拆行（列）法.12 2.2.2 利用矩阵行列式.13 2.2.3 析因子法 .14 3.总结 .14 参考文献： .15 1
2、 1.行列式的定义行列式的定义、性质性质和特殊行列式和特殊行列式 1.1 n 级行列式的级行列式的定义定义 n 级行列式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 1212njjnja aa 的代数和，这里 j1 j2 jn是 1，2，3，n 的一个排列，每一项（2）都按下列规则带有符号：当 j1 j2 jn是偶排列时， （2）带有正号，当 j1 j2 jn是奇排列时， （2）带负号.n 级行列式也称 n 阶行列式，这一定义可写成 1 2121 21112121222() 1212=(-1)nnnnnj jj jjnj j jjnnn
3、naaaaaaa aaaaa， 这里1 2nj jj 表示对所有 n 级排列求和，共 n!项. 1.2 行列式的性质行列式的性质 1、行列互换，行列式不变. 2、交换行列式的两行（列）的置 ，行列式改变符号. 3、行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数 k，就相当于用 k 乘此行列式，或者说行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式之外.如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 4、如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两个行列式的和， 这两个行列式分别以两个加数之一作为该行 （列） 相应位置上的元素，其余各行（列）都与原行列式相同. 2 5、把行列式的某
4、一行（列）的所有元素乘同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变. 6、如果行列式中有两行（列）相同，或者两行（列）成比例，那么行列式为零. 1.3 特殊行列式特殊行列式 1. 上（下）三角形行列式 11111212122222 112233120=0nn nnnnnnnnaaaa aaaaa a aaaaaa . 2. 副对角行列式 1111, -11 ( -1) 2, -12212, -12 12, -111, -110=(-1)0nnn n n nnn nnnnn nnnnaaaaaaaaa aaaaaa3.范德蒙（Vandermonde）行列式 123 2222 123 13n
5、abnDa abnn 2.1.2.2 化三角形法化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。 因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例例 3 3 计算 n 级行列式=nabaDba解解 当=0a 时，22=0=.nnDaab 当0a 时，第一行乘以-b a加到
6、第n 行上，得： 5 2 1222=()0nnn nab abDaaaabaabaa 总之有22=nn nDaab 例例 4 4 计算行列式nD=11aa，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零 解解 方法方法 1 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式 nD11cnca =101aa aa=11()naaa=na-2na方法方法 2 2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式 nDn1rr =111aaa1ncc =111aaa=na-2na2.1.2.3 化爪形行列式化爪形行列式 例例 5 5 计算行列式121212=, =1,2,3nn niinxaaaxaDxa inaax解解
7、 1）化爪形 1231211221122n 1 1133 i=11100 -11000=()=2,3-10100nnnni niinnxaaaxxx xaxaxaaxaxrrDaxaxxainaxax 6 2）化三角形 2=122 1=1=1=1+1+()=()+1010=2,3001n knkkknnnnn jk iiii kiikkaaa xaxaxaccaxaxaxajn 2.1.3 降阶法降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，
8、然后再展开。 2.1.31 按某一行按某一行（或一列或一列）展开行列式展开行列式 例例 6 6 计算行列式nD=11aa，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零 解解 利用展开定理，将行列式化成对角行列式 nD1c 展 开 =1naaa+110010( 1)0nnaa nD=-1na a + 21( 1)n2naa=1na a-2na=na-2na2.1.3.2 利用拉普拉斯定理利用拉普拉斯定理 例例 6 6 计算行列式=nabaDba解解 先利用行列式性质，将第n 行与第1n行，2n行，2 行对换，经过2n次行的对换成为第 2 行，再将第n列依次与第1,2,2nn列交换，经过2n 次列
9、交换成为第 2 列，于是取第 1,2 行按拉普拉斯定理展开. 7 22=(-1)(-1)=nn nababaabDaba aa22222=()=nnnab aaab 2.1.4 加边法加边法（升阶法升阶法） 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 例例 7 7 计算 n 级行列式121212120+0+0nnnnaaaaaaaaDaaaa12(0)
10、na aa 解解 将 D 加上一行一列构成+1n 级行列式. 12121212121 00+0+0+0+0nnnnnaaa aaaaDaaaaaaaa 21311121112221-1-1-1-nnrr rrrrnnnaaaaaaaaaaaa 121111222210000 01-1- -1-1-nnnnnaaaaaaa aaaaaaaa 再加边 3141+21121122210-1-1-101 -1-00 -1-0-100-2nn cc ccccnnaaa aa aaaaa 8 134+2234+2 12=11111+12222 111 2221111-1-1-122+122 00-2000
11、000-2nn nnjjnccccnccccaaann aaanaaaaa =1 12111122-2 +122njnj nnn aa aa aan 按拉普拉斯定理（） 展开2 12 , =1= -22.n ni n i jjaa aana（）（） 2.1.5 递推法递推法 递推法是根据行列式的构造特点，建立起nD 与1nD的递推关系式，逐步推下去，从而求出nD 的值,有时也可以找到nD 与1nD,nD 的递推关系，最后利用,1D2D得到nD 的值. 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话， 即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例例 8 8 计算行列式1 11nD . 解解 将行列式按第 展开，有n,)(21nnnDDD 112(),nnnnDDDD 112(),nnnnDDDD 由递推得nn nnnnDDDDDD )()(122 322 1同理，由递推得 9 n nnDD1,所以 .,;,) 1(11 nnnnn D 例例 9 9 解行列式00nabcab Dbca 解解 安第一行展开 00c0=-000cababbcabcabab abbbbcacaa 00=-00ababcabcab abcbbcaca
