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1、小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程(四年级四年级)本教程共 30 讲乘法原理乘法原理让我们先看下面几个问题。例例 1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场 演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭 配？分析与解：分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有 6 种搭配。事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有 3 种方 法；第二步穿鞋，有 2 种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种 方法，所以不同的搭配共有326（种）。例例 2 从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙地到丁地也 有 2 条路。问：从甲地经乙、丙两地到
2、丁地，共有多少种不同的走法？分析与解：分析与解：用 A1，A2表示从甲地到乙地的 2 条路，用 B1，B2，B3表示 从乙地到丙地的 3 条路，用 C1，C2表示从丙地到丁地的 2 条路（见下页 图）。共有下面 12 种走法：A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有 2 种方法，第二 步乙到丙有 3 种方法，第 3 步丙到丁有 2 种方法。对于第一步的每种方 法，第二步都有 3 种方法，所以从甲到丙有 23=6（种）方法；对从甲 到丙
3、的每种方法，第三步都有 2 种方法，所以不同的走法共有23212（种）。以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。乘法原理：如果完成一件任务需要分成乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第个步骤进行，做第 1 步有步有 m1种种 方法，做第方法，做第 2 步有步有 m2种方法种方法做第做第 n 步有步有 mn种方法，那么按照这样种方法，那么按照这样 的步骤完成这件任务共有的步骤完成这件任务共有Nm1m2mn种不同的方法。种不同的方法。从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的 关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。例例 3 用数字 0，1，2，3，4，5 可
4、以组成多少个三位数（各位上的数字允 许重复）？分析与解：分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字， 除 0 以外有 5 种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复， 有 6 种选法；第三步确定个位上的数字，也有 6 种选法。根据乘法原理， 可以组成三位数566180（个）。例例 4 如下图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五 种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不 同的染色方法？分析与解：分析与解：将染色这一过程分为依次给 A，B，C，D，E 染色五步。先给 A 染色，因为有 5 种颜色，故有 5 种不同的染色方法；第 2
5、步 给 B 染色，因不能与 A 同色，还剩下 4 种颜色可选择，故有 4 种不同的 染色方法；第 3 步给 C 染色，因为不能与 A，B 同色，故有 3 种不同的 染色方法；第 4 步给 D 染色，因为不能与 A，C 同色，故有 3 种不同的 染色方法；第 5 步给 E 染色，由于不能与 A，C，D 同色，故只有 2 种 不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法54332360（种）。例例 5 求 360 共有多少个不同的约数。分析与解：分析与解：先将 360 分解质因数，360222335，所以 360 的约数的质因数必然在 2，3，5 之中。为了确定 360 的所 有不同的约数，我
6、们分三步进行：第 1 步确定约数中含有 2 的个数，可能是 0，1，2，3 个，即有 4 种 可能；第 2 步确定约数中含有 3 的个数，可能是 0，1，2 个，即有 3 种可 能；第 3 步确定约数中含有 5 的个数，可能没有，也可能有 1 个，即有 2 种可能。根据乘法原理，360 的不同约数共有43224（个）。由例 5 得到：如果一个自然数 N 分解质因数后的形式为其中 P1，P2，Pl都是质数，n1，n2，nl都是自然数，则 N 的 所有约数的个数为：（n11）（n2+1）（nl1）。利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。 例如，110882432711，110
7、88 共有不同的约数（41）（2+1）（11）（11）60（个）。例例 6 有 10 块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃 法？分析与解：分析与解：将 10 块糖排成一排，糖与糖之间共有 9 个空。从头开始，如 果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示 10 块 糖分在五天吃：第一天吃 2 块，第二天吃 3 块，第三天吃 1 块，第四天 吃 2 块，第五天吃 2 块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据 乘法原理，不同的加线方法共有 29512（种）。因为每一种加线方法对 应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有 512 种。练习练习 19191.有五顶不同
8、的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取 出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的 装束？2.四角号码字典，用 4 个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码 本”，用 3 个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代 表汉字“车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母写成三种不同 颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭 配的“IMO”？4.在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在 同一列。问：共有多少种不同的放法？5.要从四年级六个班中评选出学习和
9、体育先进集体各一个（不能同 时评一个班），共有多少种不同的评选结果？6.甲组有 6 人，乙组有 8 人，丙组有 9 人。从三个组中各选一人参 加会议，共有多少种不同选法？7.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色， 相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？8.504 有多少个不同的约数？答案与提示练习练习1.30 种。 2.1000 个。 3.60 种。4.400 种。提示：第一枚棋子有 25 种放法，去掉这枚棋子所在的行和列，还有 16 个空格，所以第二枚棋子有 16 种放法。5.30 种。 6.432 种。 7.48 种。8.24 种。提示：504=23327。
