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1、14 习题四习题四1.设随机变量 X 的分布律为X1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求 E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）.【解解】(1) 11111()( 1)012;82842E X (2) 2222211115()( 1)012;82844E X (3) 1(23)2 ()32342EXE X2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为X012345P5 90 5 100C0.583C14 1090 5 100C C0.340C23 1090 5 10
2、0C C0.070C32 1090 5 100C C0.007C41 1090 5 100C C0C5 10 5 100C0C故 ()0.583 00.340 1 0.070 20.007 30 40 5E X 0.501,5 20()()ii iD XxE XP222(00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)0 0.432. L3.设随机变量 X 的分布律为X1 0 1Pp1 p2 p3且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求 P1，P2，P3.【解解】因,1231PPP又,12331()( 1)010.1E XPPPPP gg2222 12313()(
3、1)010.9E XPPPPP ggg由联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为 白球的概率是多少？ 【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则20( )|NkP AP A XkP Xkg全概率公式0011().NNkkkP XkkP XkNN nE XNNg5.设随机变量 X 的概率密度为f（x）= ., 0, 21,2, 10,他他xxxx求 E（X） ，D（X）.【解解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx213 320111.33xxx122232017()( )d
4、d(2)d6E Xx f xxxxxxx故 221()() ().6D XE XE X6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量 的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X.【解解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y2 53 11 144. (2) 44 ()E VE YZXE YZE X,( )( )4 ()Y ZE YE ZE Xg因独立11 84 568. 7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X2Y） ，D（2X
5、3Y）.【解解】(1) (32 )3 ()2 ( )3 32 33.EXYE XE Y (2) 22(23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）= ., 0,0, 10,他他xyxk试确定常数 k，并求 E（XY）.【解解】因故 k=21001( , )d ddd1,2xf x yx yxk yk .100()( , )d dd2 d0.25xE XYxyf x yx yx xy y 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）= fY（y）= ;, 0, 10,2他他xx(5)e,5,0,.yy其他求
6、 E（XY）. 【解解】方法一：先求 X 与 Y 的均值102()2 d,3E Xxx xg5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzzz 令由 X 与 Y 的独立性，得 2()()( )64.3E XYE XE Yg方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为(5)2 e,01,5,( , )( )( )0,yXYxxyf x yfxfy g其他于是11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy gg10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为fX（x）= fY（y）= ; 0, 0, 0,
7、22xxxe. 0, 0, 0,44yyye求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）.【解解】22-2 000()( )d2edee dxxx XXxfxxxxxx g201ed.2xx401( )( )d4edy.4y YE Yyfyyyg2224 2021()( )d4ed.48y YE Yy fyyyyg从而(1)113()()( ).244E XYE XE Y4(2)22115(23)2 ()3 ()23288EXYE XE Y 11.设随机变量 X 的概率密度为f（x）=. 0, 0, 0,22xxcxxke求（1） 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解解】(1
8、) 由得.2220( )ded12k xcf xxcxxk22ck(2) 2220()( )d( )2edk xE Xxf xxxk xxg222202ed.2k xkxxk(3) 222222 201()( )d( )2e.k xE Xx f xxxk xkg故 222 2214()() ().24D XE XE Xkkk12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出 （取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0
9、，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知900.750,12P X 3910.204,1211P X 32920.041,1211 10P X 321930.005.1211 109P X 于是，得到 X 的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得()0 0.750 1 0.2042 0.041 3 0.0050.301.E X 22222222()0750 10.20420.041 30.0050.413()() ()0.413(0.301)0.322.E XD XE XE X13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率
10、密度为f（x）= . 0, 0, 0,414xxx e为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和200 元5/41/4111001ede4xP YP Xx1/420011 e.P YP X 故 (元).1/41/41/4( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y 14.设 X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=，D（Xi） =2，i=1，2，n，记，S2=. ni
11、iSXnX12,1 niiXXn12)(11（1） 验证=， =；)(XE)(XDn2（2） 验证 S2=；)(11122 niiXnXn（3） 验证 E（S2）=2.【证证】(1) 1111111()()().nnniii iiiE XEXEXE Xnuunnnng22 111111()()nnniiii iiiD XDXDXXDXnnng之间相互独立2 2 21.nnng(2) 因222221111()(2)2nnnniiiii iiiiXXXXXXXnXXX2222112nnii iiXnXX nXXnXg故.22211()1ni iSXnXn(3) 因,故2(),()iiE Xu D
12、X2222()()().iiiE XD XEXu同理因,故.2 (),()E Xu D Xn222()E Xun从而6222221111()() ()()11nnii iiE sEXnXEXnE Xnn2212 22221()()11().1ni iE XnE Xnnununng g15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解解】Cov(321,43)3 () 10Cov(, )8 ( )XYXYD XX YD Y3 2 10 ( 1)8 328 (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(
13、Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=221,1, 0,.xy 其他试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解解】设.22( , )|1Dx yxy2211()( , )d dd dxyE Xxf x yx yx x y 21001=cosd d0.rr r g同理 E(Y)=0.而 Cov(, )( ) ( ) ( , )d dX YxE xyE Yf x yx y g,2221200 111d dsincosd d0xyxy x yrr r 由此得,故 X 与 Y 不相关.0XY下面讨论独立性，当|x|1 时， 22121112( )d1.xXxfxyx当|y|1 时，.22121112( )d1yYyfyxy显然( )( )( , ).XYf
