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1、第 5 讲 数列的综合应用1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力【复习指导】1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算2掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程” 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 、 “等价转化”等3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法基础梳理1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和 d 可以为零；(3)等差中项唯一等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与 q 均不为零；(3)等比中项有两个值(1)都强调从第二项
2、起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由 a1，d 或a1，q 确定2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随
3、项的变化而变化时，应考虑是 an与 an1的递推关系，还是 Sn与 Sn1之间的递推关系一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不
4、等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想双基自测1(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2的值为( )A4 B6 C8 D10解析 由题意知：a a1a4.则(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.2 3答案 B2(2011运城模拟)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若
5、a11，且 4a1,2a2，a3成等差数列，则 S4( )A7 B8 C15 D16解析 设数列an的公比为 q，则 4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.12412答案 C3已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且a6b7，则有( )Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与 b4b10的大小关系不确定解析 记等比数列an的公比为 q(q0)，由数列bn为等差数列可知b4b102b7，又数列an是各项均为正数的等比数列，a3a9a3(1q6)a6b7，又q32(当且仅当 q1 时，等号成立)，(1q6q3)
6、(1q6q3)1q6q31q3a3a92b7，即 a3a9b4b10.答案 B4若互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，c，a，b 成等比数列，且a3bc10，则 a( )A4 B2 C2 D4解析 由 c，a，b 成等比数列可将公比记为 q，三个实数 a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数 a、b、c 成等差数列得 2bac，即 2cq2cqc，又等比数列中 c0，所以 2q2q10，解一元二次方程得 q1(舍去，否则三个实数相等)或 q ，又 a3bca3aq a10，所以 a4.12aq52答案 D5(2012苏州质检)已知等差数列的公差 d0，前 n 项和记为 Sn，满足S200
7、，S210，则当 n_时，Sn达到最大值解析 S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，a100，a110，n10 时，Sn最大答案 10 考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例 1】在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项 an；(2)令 bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视点 第(1)问列首项 a1与公差 d 的方程组求 an；第(2)问利用定义证明(1)解 由 ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组Error!Error!解得Error!Error!an12(n1)22n10.(2)证明 由(1)，得 bn2an
8、1022n101022n4n，4.bn1bn4n14nbn是首项是 4，公比 q4 的等比数列对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法【训练 1】 数列an的前 n 项和记为 Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T315，又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求 Tn.解 (1)由 an12Sn1，可得 an2Sn11(n2)，两式相减得 an1an2an，则 an13an(n2)又 a22S113，a23a1
9、.故an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为 d，由 T315，b1b2b315，可得 b25，故可设 b15d，b35d，又 a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得 d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，Tn3n2n22n.nn12考向二 数列与函数的综合应用【例 2】(2012南昌模拟)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数 ybxr(b0 且 b1，b，r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn(nN*)，求数列bn的前 n 项和
10、Tn.n14an审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用 anSnSn1(n2)，得到an，再利用 a1S1可求 r.第(2)问错位相减求和解 (1)由题意，Snbnr，当 n2 时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于 b0 且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，a2a1bb1br解得 r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以 bn.n14 2n1n12n1Tn，222323424n12n1Tn，12223324n2n1n12n2两式相减得 Tn1222212312412n1n1
11、2n2 ，3412n1n12n2Tn .3212nn12n132n32n1此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程” “等价转化”等【训练 2】 (2011福建)已知等比数列an的公比 q3，前 3 项和 S3.133(1)求数列an的通项公式；(2)若函数 f(x)Asin(2x)(A0,0)在 x 处取得最大值，且最大值为6a3，求函数 f(x)的解析式解 (1)由 q3，S3得，解得 a1 .133a11331313313所以 an 3n13n2.13(2)由(1)可知 an3n2，所以 a33.因为函数 f(x)的最大值为 3，所以 A3；因为
12、当 x 时 f(x)取得最大值，6所以 sin1.(2 6)又 0，故 .6所以函数 f(x)的解析式为 f(x)3sin.(2x6)考向三 数列与不等式的综合应用【例 3】(2011惠州模拟)在等比数列an中，an0(nN*)，公比 q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又 a3与 a5的等比中项为 2.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 Sn；(3)是否存在 kN*，使得k 对任意 nN*恒成立，若存在，求S11S22Snn出 k 的最小值，若不存在，请说明理由审题视点 第(1)问由等比数列的性质转化为 a3a5与 a3a5的关系求
13、a3与 a5；进而求 an；第(2)问先判断数列bn，再由求和公式求 Sn；第(3)问由确定正负项，Snn进而求的最大值，从而确定 k 的最小值S11S22Snn解 (1)a1a52a3a5a2a825，a 2a3a5a 25，(a3a5)225，2 32 5又 an0，a3a55，又 a3与 a5的等比中项为 2，a3a54，而 q(0,1)，a3a5，a34，a51，q ，a116，12an16n125n.(12)(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，Sn.n9n2(3)由(2)知 Sn，.n9
14、n2Snn9n2当 n8 时，0；当 n9 时，0；SnnSnn当 n9 时，0.Snn当 n8 或 9 时，18 最大S11S22S33Snn故存在 kN*，使得k 对任意 nN*恒成立，k 的最小值为 19.S11S22Snn解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理【训练 3】 (2012岳阳模拟)已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且 a32 是 a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanlog an，Snb1b2bn，求使 Snn2n150 成立的正整数 n12的最小值(1)解 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q.依题意，有 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，可得 a38，a2a
