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1、1FEDCBA芜芜湖一中湖一中 2011 年高一自主招生考年高一自主招生考试试数数 学学 试试 卷卷1如图，边长为如图，边长为 1 1 的菱形的菱形 ABCDABCD 绕点绕点 A A 旋转，当旋转，当 B B、C C 两点恰好两点恰好 落在扇形落在扇形 AEFAEF 的弧的弧 EFEF 上时，弧上时，弧 BCBC 的长度等于（的长度等于（ ）A A B.B. C.C. D.D. 6 4 3 22二次函数二次函数1422xxy的图象如何移动就得到的图象如何移动就得到22xy的图象（的图象（ ）A A向左移动向左移动 1 1 个单位，向上移动个单位，向上移动 3 3 个单位个单位. .B.B.
2、向左移动向左移动 1 1 个单位，向下移动个单位，向下移动 3 3 个单位个单位. .C.C. 向右移动向右移动 1 1 个单位，向上移动个单位，向上移动 3 3 个单位个单位. .D.D. 向右移动向右移动 1 1 个单位，向下移动个单位，向下移动 3 3 个单位个单位. .3已知已知 a、b、c 为正实数，且满足为正实数，且满足 k , ,则一次函数则一次函数bcaabcacb的图象一定经过（的图象一定经过（ ）5ykxkA A第一、二、三象限第一、二、三象限 B第一、二、四象限第一、二、四象限C第一、三、四象限第一、三、四象限 D.D. 第二、三、四象限第二、三、四象限4某学校要召开学生
3、代表大会，规定各班每某学校要召开学生代表大会，规定各班每 1010 人推选一名代表，当各班人数除以人推选一名代表，当各班人数除以 1010 的余的余数大于数大于 7 7 时再增选一名代表时再增选一名代表. .那么，各班可推选代表人数那么，各班可推选代表人数y y与该班人数与该班人数x x之间的函数关系之间的函数关系用取整函数用取整函数y y x x （ x x 表示不大于表示不大于x x的最大整数）可以表示为（的最大整数）可以表示为（ ）A Ay y B.B. y y C.C. y y D.D. y y 1 10x2 10x3 10x4 10x5正实数正实数满足满足,那么那么的最小值为（的最小
4、值为（ ）, x y1xy 4411 9xyA A B.B. C.C. 1 D.D. 2 35 426如图，点如图，点 P 为弦为弦 AB 上一点，连结上一点，连结 OP，过，过 P 作作PCOP，PC 交交 Oe于点于点 C，若，若 AP=4，PB=2，则，则 PC 的长为的长为 （ ）A A2 B.B. 3 C.C. 2 D.D. 2 2二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 42 分）分）BAPCO27 7 二次函数二次函数 y ya ax2+(a+(ab b）x xb b 的图象如图所示，那么的图象如图所示，那么化简化简222|aa
5、bbb a的结果是的结果是_._.8 8随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是 . .9设设 x1、x2 是一元二次方程是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根，的两个根，2x1(2x22+5x26 6)+a =2，则，则 a= . .10已知三角形的三边已知三角形的三边 a、b、c 都是整数，且满足都是整数，且满足 abc+bc+ca+ab+a+b+c=7，则此三角形的，则此三角形的面积等于面积等于 .11已知方程已知方程0332xax在实数范围内恒有解，并且恰有一个解在实数范围内恒有解，并且恰有一个解 大于大于 1 小于小于 2，则，
6、则a的取值范围是的取值范围是 12如图，如图，AB 是半圆是半圆 O 的直径，四边形的直径，四边形 CDMN 和和 DEFG 都是都是正方形，其中正方形，其中 C,D,E 在在 AB 上，上，F,N 在半圆上若在半圆上若 AB=10，则正方形则正方形 CDMN 的面积与正方形的面积与正方形 DEFG 的面积之和是的面积之和是 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 5 小题，计小题，计 72 分，写出必要的推算或演算步骤分，写出必要的推算或演算步骤 ）13 （13 分）分）已知已知为整数，方程为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，方程m230xmxn 有两个相等的实
7、数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数没有实数2(6)70xm xn2(4)50xm xn 根，求根，求的值的值2011()mn314 （14 分）分）在在ABC中，中，190 ,2CACBC. .以以BC为底作等腰直角为底作等腰直角BCD，E是是CD的的中点求证：中点求证：AEEB. .15 （15 分）分）已知已知 AB 是半圆是半圆 O 的直径，点的直径，点 C 在在 BA 的延长线上运动（点的延长线上运动（点 C 与点与点 A 不重合）不重合） ， 以以 OC 为直径的半圆为直径的半圆 M 与半圆与半圆 O 交于点交于点 D，DCB 的平分线与半圆的平分线与半圆 M 交于点交于点
8、E（1）求证：）求证：CD 是半圆是半圆 O 的切线（图的切线（图 1） ；（2）作）作 EFAB 于点于点 F（图（图 2） ，求证：，求证：1 2EFOA；（3）在上述条件下，过点）在上述条件下，过点 E 作作 CB 的平行线交的平行线交 CD 于点于点 N，当，当 NA 与半圆与半圆 O 相切时（图相切时（图 3） ， 求求EOC 的正切值的正切值图 1图 3图 22416 （15 分）分）如图，在平面直角坐标系中，矩形如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在的两边分别在 x 轴和轴和 y 轴上，轴上， OA10 厘米，厘米，OC6 厘米，现有两动点厘米，现有两动点 P，Q
9、 分别从分别从 O，A 同时出发，点同时出发，点 P 在线段在线段 OA 上沿上沿 OA 方向作匀速运动，点方向作匀速运动，点 Q 在线段在线段 AB 上沿上沿 AB 方向作匀速运动，已知点方向作匀速运动，已知点 P 的的 运动速度为运动速度为 1 厘米秒厘米秒（1）设点）设点 Q 的运动速度为的运动速度为 厘米秒，运动时间为厘米秒，运动时间为 t 秒，秒，12当当CPQ 的面积最小时，求点的面积最小时，求点 Q 的坐标；的坐标； 当当COP 和和PAQ 相似时，求点相似时，求点 Q 的坐标的坐标 （2）设点）设点 Q 的运动速度为的运动速度为 a 厘米秒，问是否存在厘米秒，问是否存在 a 的
10、值，的值， 使得使得OCP、PAQ 和和CBQ 这三个三角形都相似？若存这三个三角形都相似？若存 在，请求出在，请求出 a 的值，并写出此时点的值，并写出此时点 Q 的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由 .5芜湖一中 2011 年高一自主招生考试数学试卷参考答案一、选择题（每题 6 分，共 36 分）题号123456答案CBCBAD二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 7 分，共 42 分）7-1 8 9-16 10 11 211a 或323a 12253 83 4三、解答题：（本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）13解：依题意得
11、6 分 由得代入、得，10 分24128nmm 5 3m 3n 又为整数，a2m 将代入得12 分2m 3n 13 分2011()1mn 2224(3)0 (6)4(7)0 (4)4(5)0mn mn mn 614证明：作BCEV的中线 EF，2 分 CEEDQ,即5 分1,2EFBD EFBDP,45EFCECFEFBD ACBBCDACE 0EFB=1357 分又1,2ACBCACBFQACEBFEVV10 分 AECBEF 12 分090CEFD Q090AEB，即AEBE14 分15 （1）证明：如图 1，连结 OD，则 OD 为半圆 O 的半径OC 为半圆 M 的直径CDO=90CD
12、 是半圆 O 的切线。（2）如图，以 OC 为直径作M，延长 EF 交M 于点 P，连结 OD。4 分EFCOEFPFEPEOPO 1 2，5 分CE 平分DCBDCE=ECODEOEODEP 7 分OD=EPEFODOA1 21 28 分（3）解：如图 3，延长 OE 交 CD 于点 K设 OF=x，EF=y，则 OA=2y9 分NE/CB，EFCB，NA 切半圆 O 于点 A 四边形 AFEN 是矩形NEAFOAOFyx210 分易得 E 是 OK 的中点N 是 CK 的中点 CONEyx22 2()7CFCOOFyxEF ABCE EO43Q，RtCEFRtEOFEFCF OF2，即yx
13、yx243()解得y xy x31或13 分当时，y xEOCEF OFy x33tan，当时，点 与点 重合，不符合题意，故舍去y xCA 1tanEOC=315 分16解：（1）SCPQ=S矩形 OABCSOCPSPAQSBCQ1 分=60 6t (10t) t 10(6 t)= t23t+30121212121214= (t6)2+21 (0 t 10) 2 分14故当 t=6 时，SCPQ最小值为 21, 此时点 Q 的坐标为(10,3) 3 分如图，当12 时，=, =OCOPQAPA6t12 t10t t2+6t60=0 解得 t1= 6+2, t2= 62（舍去）5 分123939当1=3 时， ，解得 t=7, 因此，当 t= 6+2或 7 时，6t10t12 t39即当 Q 点的坐标为(10,3+)或(10, )时COP 与PAQ 相似。7 分3972设 P、Q 运动时间为 t 秒，则 OP=t, AQ=at. 当1=3=4 时，=, =OCOPPAAQBCBQ6t10ta t106 a t图 38解得 t1=2, t2=18(舍去)，此时 a= , Q 点的坐标为(
