《利用二次函数求几何图形面积的最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用二次函数求几何图形面积的最值问题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1利用二次函数求几何图形面积的最值问题利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系寻求等量关系，从而构造出二次函数构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）长、宽、半径等） 。2、根据几何图形的特征，列
2、出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。例 1（2006 年旅顺口区中考试题）已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图 1） ，其中 AF2，BF1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积.简析 设矩形 PNDM 的边 DNx，NPy，则矩形 PNDM 的面积 Sxy（
3、2x4） ，易知 CN4x，EM4y.且有（作辅助线构造相似三角形） ，即，NPBC CNBF AF3 4y x 1 2所以 yx+5，Sxyx2+5x（2x4） ，1 21 2此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x5，所以当 x5 时，函数的值是随 x 的增大而增大，对 2x4 来说，当 x4 时，S 有最大值S最大42+5412.1 2说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.图 2图 12例 2（2006 年南京市中考试题）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB2AD，线段 EF1
4、0.在 EF 上取一点 M，分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、矩形MFGN，使矩形 MFGN矩形 ABCD.令 MNx，当 x 为何值时，矩形 EMNH的面积 S 有最大值？最大值是多少？简析 因为矩形 MFGN矩形 ABCD，所以，因为MN ADMF ABAB2AD，MNx，所以 MF2x，所以 EMEFMF102x，所以Sx(102x)2x2+10x2(x)2+，5 225 2所以当 x时，S 有最大值为.5 225 2说明 本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例 3（2006 年泉州市中考试题）一条隧道的截面如
5、图 3 所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD.（1）当 AD4 米时，求隧道截面上部半圆 O 的面积；（2）已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米.求隧道截面的面积 S（米）关于半径 r（米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围） ；若 2 米CD3 米，利用函数图象求隧道截面的面积 S 的最大值.（ 取3.14，结果精确到 0.1 米）简析（1）当 AD4 米时，S半圆=222(米2).1 222AD1 2（2）因为 AD2r，AD+CD8，所以 CD8AD82r，所以 Sr2+ADCDr2+2r(82r)(4)r2+16
6、r；1 21 21 2由知 CD82r，又因为 2 米CD3 米，所以 282r3，所以 2.5r3，由知 S(4)r2+16r(3.14-4)1 21 2r2+16r2.43r2+16r2.43(r)2+，8 2.4364 2.43因为2.430，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对3称轴 r3.3.又 2.5r33.3，8 2.43由函数图象的性质可知，在对称轴左侧 S 随 r 的增大而增大，故当r3 时，S 有最大值，S最大值(4)32+163(3.144)9+4826.1326.1(米2).1 21 2 即隧道截面面积 S 的最大值约为 26.1 米2.说明 本题是一道典型的
7、代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力. 例 4（2006 年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为 60cm 的正方形板子；另一块是上底为 30cm，下底为 120cm，高为60cm 的直角梯形板子（如图 4） ，王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形 ABCDE 围成的区域（如图 5） ，由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点 B 为一个顶点.（1）求 FC 的长；（2）利用如图 5 求出矩形顶点
8、B 所对的顶点到 BC 边的距离 x(cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.图 3图 4图 54简析（1）由题意，得DEFCGF，即，FCDF CGDE 603060 FCFC所以 FC40(cm).（2）如图 5，设矩形顶点 B 所对顶点为 P，则当顶点 P 在 AE 上时，x60，y 的最大值为 60301800(cm2)；当顶点 P 在 EF 上时，过点 P 分别作 PNBG 于点 N，PMAB 于点 M.根据题意，得GFCGPN，所以，所以 NGx，CGFG NGDF23所以 BN120x，23所以 yx(120x
9、)(x40)2+2400，23 23所以当 x40 时，y 的最大值为 2400(cm2)；当顶点 P 在 FC 上时，y 的最大值为 60402400(cm2). 综合，得 x40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为 2400cm2.（3）根据题意，正方形的面积 y(cm2)与边长 x(cm)满足的函数表达式为：yx2+120x.23当 yx2时，正方形的面积最大，所以 x2x2+120x.解之，得 x10（舍去） ，x248(cm).23所以面积最大得正方形得边长为 48 cm.说明 本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.
