《高中数学二轮复习14 第十四编 系列4选讲(共31页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学二轮复习14 第十四编 系列4选讲(共31页)（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第十四编第十四编 系列系列 4 4 选讲选讲14.114.1 几何证明选讲几何证明选讲基础自测基础自测1.如图所示，已知在ABC 中，C=90，正方形 DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC=1，BC=2，则 AFFC= .答案答案 212.从不在O 上的一点 A 作直线交O 于 B、C，且 ABAC=64，OA=10，则O 的半径等于 .答案答案 2或 6413.设 P 为ABC 内一点，且=+，则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于 .AP52AB51AC答案答案 514.如图所示，AC 为O 的直径，BDAC 于 P，PC=2，PA=8，则 CD 的长为 ，cosACB= .
2、答案答案 2 5555.如图所示，PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心 O，已知BPA=30，PA=2，PC=1，则圆 O 的半径等于 .3答案答案 7例例 1 1 已知：如图所示，以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作平行四边形 ACED，连接 EB，DC 的延长线交 BE 于 F.求证：EF=BF.证明证明 连接 AE 交 DC 于 O.四边形 ACED 为平行四边形，O 是 AE 的中点（平行四边形对角线互相平分）.四边形 ABCD 是梯形，DCAB.在EAB 中，OFAB，O 是 AE 的中点，F 是 EB 的中点，即 EF=BF.例例 2
3、 2 如图所示，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB上任意一点，CF 交 AD 于点 E.求证：AEBF=2DEAF.证明证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N.在BCF 中，D 是 BC 的中点，DNBF，DN=BF.21DNAF，AFEDNE，=.AFAE DNDE又 DN=BF，=，21 AFAE BFDE2即 AEBF=2DEAF.例例 3 3 （20082008苏、锡、常、镇三检）苏、锡、常、镇三检）自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点 A，M 为 PA 的中点，过 M 引割线交圆于 B，C 两点.求证：MCP=MPB.证
4、明证明 PA 与圆相切于 A，MA2=MBMC，M 为 PA 中点，PM=MA，PM2=MBMC，=.MCPM PMMBBMP=PMC，BMPPMC，MCP=MPB.例例 4 4 （14 分）如图所示，AB 是O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，过 G 作O 的切线，切点为 H.求证：（1）C，D，F，E 四点共圆；（2）GH2=GEGF.证明证明 （1）连接 BC.AB 是O 的直径，ACB=90.AGFG，AGE=90.又EAG=BAC，ABC=AEG.又FDC=ABC，FDC=
5、AEG.FDC+CEF=180.C，D，F，E 四点共圆. 7 分（2）GH 为O 的切线，GCD 为割线，GH2=GCGD.由 C，D，F，E 四点共圆，得GCE=AFE，GEC=GDF.GCEGFD.=，GFGC GDGF即 GCGD=GEGF.CH2=GEGF. 14 分例例 5 5 （20082008徐州三检）徐州三检）如图所示，圆 O 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD=2，AB=BC=3.求 BD 以及 AC 的长.7解解 由切割线定理得：DBDA=DC2，即 DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB-28=0，得 DB=4.A=BCD，DBCD
6、CA，=，得 AC=.CABC DCDB DBDCBC 2731.已知：如图所示，从 R RtABC 的两直角边 AB，AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE，CF，BD 分别交 AB，AC 于 P，Q.求证：AP=AQ.证明证明 BAC+BAG=90+90=180,C,A,G 三点共线.同理 B,A,E 三点共线.ABGF,ACED,=，=，GFAP CGCA EDAQ BEBA即 AP=，AQ=.CGGFCA BEEDBA又CA=ED=AE，GF=BA=AG，CG=CA+AG=AE+BA=BE.AP=AQ.2.如图所示，ABC 是O 的内接三角形，且 AB=AC，AP 是BAC 的外角
7、的平分线，弦 CE 的延长线交 AP 于点 D.求证：AD2=DEDC.证明证明 连接 AE，则AED=B.AB=AC，B=ACB.QAC=B+ACB，又QAP=PAC，DAC=B=AED.又ADE=CDA，ACDEAD，从而=，ADCD DEAD即 AD2=DEDC.3.（20082008南京第二次质检）南京第二次质检）如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆 O 于点 G.（1）求证：DFEEFA；（2）如果 EF=1，求 FG 的长.（1）证明证明 EFCB，DEF=DCB.DCB=DAB，DEF=DAB.DFE=EFA
8、，DFEEFA.（2）解解 DFEEFA，=.FAEF EFFDEF2=FAFD.FG 切圆于 G，FG2=FAFD.EF2=FG2.EF=FG.EF=1，FG=1.4.已知：如图所示，在ABC 中，AB=AC，O是ABC 的外心，延长 CA 到 P，再延长 AB到 Q，使 AP=BQ.求证：O，A，P，Q 四点共圆.证明证明 连接 OA，OC，OP，OQ.O 是ABC 的外心，OA=OC.OCP=OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，OAC=OAQ，从而OCP=OAQ，在OCP 和OAQ 中，由已知 CA=AB，AP=BQ，CP=AQ.又 OC=OA，OCP=OAQ，OCPOAQ，C
9、PO=AQO，O，A，P，Q 四点共圆.5.（20082008徐州模拟）徐州模拟）如图所示，已知 D 为ABC 的 BC 边上一点，O1经过点 B，D，交 AB 于另一点 E，O2经过点 C，D，交 AC 于另一点 F，O1与O2交于点 G.（1）求证：EAG=EFG；（2）若O2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，AC=10，AG 切O2于 G，求线段 AG 的长.（1）证明证明 连接 GD，因为四边形 BDGE，CDGF 分别内接于O1，O2，AEG=BDG，AFG=CDG，又BDG+CDG=180，AEG+AFG=180.即 A，E，G，F 四点共圆，EAG=EFG.（2
10、）解解 因为O2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，所以由垂径定理知 FC=2=8，又 AC=10,2235 AF=2,AG 切O2于 G，AG2=AFAC=210=20,AG=2.5一、填空题一、填空题1.如图所示，在ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC=BE，DGCE 于 G，EC 的长为 8，则 EG= .答案答案 42.如图所示，已知ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F，则 AF= AC.答案答案 313.如图所示，在半圆 O 中，AB 为直径，CDAB，AF 平分CAB交 CD 于 E，交 CB 于 F
11、，则图中相似三角形一共有 对.答案答案 54.(2008(2008广东理广东理,15),15)已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点B，PB=1，则圆 O 的半径 R= .答案答案 35.如图所示，矩形 ABCD 中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B 落在 AD 边上的中点 E 处，则折痕 FG 的长为 .答案答案 6656.如图所示，已知 AP 是圆 O 的切线，P 为切点，AC 是圆 O的割线，与圆 O 交于 B，C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点.则OAM+APM 的大小为 .答案答案 90
12、7.如图所示，圆 O 的直径 AB=6，C 为圆周上一点，BC=3.过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线l、圆交于点 D、E，则DAC= ，线段 AE 的长为 .答案答案 30 38.（20082008徐州质检）徐州质检）如图所示，锐角ABC 内接于O，ABC=60，BAC=36，作 OEAB 交劣弧于 点 E，连结 EC，则OEC= .答案答案 12二、解答题二、解答题9.已知：如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，F 是 BA 延长线上的点，FD 与 AC 交于点 E.求证：AEFB=ECFA.证明证明 过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点.
13、AGBD，=.FBFA BDAG又BD=DC，=.FBFA DCAGAGCD，=.DCAG ECAE=.AEFB=ECFA.FBFA ECAE10.已知：如图所示，在 R RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC 于 F.求证：AEBFAB=CD3.证明证明 ACB=90,CDAB,CD2=ADBD，故 CD4=AD2BD2.又R RtADC 中，DEAC，R RtBDC 中，DFBC，AD2=AEAC，BD2=BFBC.CD4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD4=AEBFABCD，即 AEBFAB=CD3.11.（20082008苏南四市二检）苏
14、南四市二检） 从O 外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB 及一条割线 PCD，A，B 为切点.求证：=.BCAC BDAD证明证明 PA 为O 的切线，PAC=PDA，而APC=DPA，PACPDA，则=.同理=.ADAC PDPA BDBC PDPBPA=PB，=.=.ADAC BDBC BCAC BDAD12.（20082008宁夏）宁夏）如图所示，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP 垂直于直线OM，垂足为 P.（1）证明：OMOP=OA2；（2）N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直于直线 ON，且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明：OKM=90.证明证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OAAM.又因为 APOM,在 R RtOAM 中,由射影定理知,OA2=OMOP.（2）因为 BK 是圆 O 的切线，BNOK，同（1） ，有 OB2=ONOK，又 OB=OA，所以 OPOM=ONOK，即=.OPON
