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1、线性代数作业 4单项选择题 第 1 题 下列二次型中，为正定二次型的是_。 A、f(x1,x2,x3)=x12-2x22+3x32+2x1x3 B、f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+3x32 C、f(x1,x2,x3)=5x12+x22+3x32+4x1x2-2x1x3-2x2x3 D、f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+x1x3+2x2x3 答案：C 第 2 题 关于二次型 f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x2-4x2x3，下列说法正确的是_。 A、是正定的 B、不是正定的 答案：A 第 3 题 二次型 f(x1,x2)=2x12+
2、5x22-6x1x2的规范形是_。 A、-y12-y22 B、y22 C、y12+y22 D、y12-y22 答案：C 第 4 题 若矩阵 C 可逆，且使 CTAC=B，则必成立_。 A、A 与 B 相似 B、当 BT=B 时，有 AT= A-1 C、A 与 B 有相同的特征值 D、当 BT=B 时，二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的规范形 答案：D 第 5 题 二次型 f(x1,x2,x3)=(2x1+x2)2-(x2-x3)2+3x32是_。 A、正定 B、负定 C、半正定 D、不定 答案：D 第 6 题 设 A、B 都是 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 相似的充要条件是_。 A、
3、秩(A)=秩(B) B、det(A)=det(B) C、det(E-A)=det(E-B) D、A2与 B2相似 答案：C 第 7 题 设 3 阶实对称矩阵 A 的全部特征值为 1=2=2,3=1，且 1=(1,1,0)T及2=(1,1,2)T都是方阵 A 的特征向量，则向量 3=(1,-1,0)T_。 A、是 A 的属于特征值 3=1 的特征向量 B、是 A 的属于特征值 2=2 的特征向量 C、可能是属于特征值 3=1 的特征向量，也可能是属于特征值 2=2 的特征向量 D、不是 A 的特征向量 答案：A 第 8 题 同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是_。 A、存在两个可逆矩阵 P 与
4、 Q，使 PAQ=B B、存在可逆矩阵 P，使 A=P-1BP; C、存在可逆矩阵 P，使 PTAP= B D、秩(A)=秩(B) 答案：B 第 9 题 答案：A 第 10 题 答案：B 第 11 题 若 f(x1,x2)=x12+ax22+4x1x2经正交变换化成的标准型是 f=3y12-y22，则常数 a 为 （）。 A、0 B、1 C、-1 D、3 答案：B 第 12 题 f=x1x2+x1x3+x2x3的秩为（） A、0 B、1 C、2 D、3 答案：D 第 13 题 A、1 B、2 C、3 D、4 答案：C 第 14 题 A、2 B、-3 C、-6 D、-4 答案：D 第 15 题
5、n 阶方阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是_。 A、A 有 n 个互不相同的特征值 B、A 有 n 个互不相同的特征向量 C、A 有 n 个线性无关的特征向量 D、A 有 n 个两两正交的特征向量 答案：C 第 16 题 二次型 f(x1,x2,x3)=x12/2+2x22+3x32-2x1x2的秩为（） 。A、0 B、1 C、2 D、3 答案：C 判断题 第 17 题 若 1,2,3中存在一个向量不能由其余向量线性表出，则 1,2,3线性无关。答案：错误 第 18 题 若 1,2,3线性相关，则其中必有两个向量的对应分量成比例。 答案：错误 第 19 题 若存在不全为零的数 k1,k2,km，使 k11+ k22+ kmm+k11+ k22+ kmm=0，则 1,m线性相关，1,m也线性相关。 答案：错误 第 20 题 设向量组 1,2,3线性无关，则向量组 1=1+2+3，2=1+22+33，3=41+52+63也线性无关。 答案：错误
