一次函数应用题练习

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1、一次函数应用题一次函数应用题一、图象型一、图象型例例 1 1、(2003 年广西)在抗击“非典”中， 某医药研究所开发了一种预防“非典”的 药品.经试验这种药品的效果得知：当成 人按规定剂量服用该药后 1 小时时，血液 中含药量最高，达到每毫升 5 微克，接着 逐步衰减，至 8 小时时血液中含药量为每 毫升 1.5 微克.每毫升血液中含药量 y(微 克)随时间 x(小时)的变化如图所示.在成 人按规定剂量服药后：(1)分别求出 x1，x1 时 y 与 x 之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为 2 微克或 2 微克以上，对预防“非典”是有效的，那么 这个有效时间为多少小时？解析 本题

2、涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是 不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它 看成是两个一次函数图象的组合.(1)当 x1 时，设 y=k1x.将(1，5)代入，得 k1=5.y=5x.当 x1 时，设 y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得，(2)以 y=2 代入 y=5x，得；以 y=2 代入，得 x2=7.故这个有效时间为小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.二、预测型二、预测型例例 2 2、(2002 年辽宁省)随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表 中的数据近似

3、地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列 问题：(1)求入学儿童人数 y(人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过 1000 人？年份(x) 2000 2001 2002 入学儿童人数(y) 2520 2330 2140 解析 建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设(k0)，在三点(2000，2520)， (2001，2330)，(2002，2140)中任选一点确定 k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比 例函数不能较好地反映入学儿童

4、人数的变化趋势，从而选用一次函数.(1)设 y=kx+b (k0)，将(2000，2520)、(2001，2330)代入，得故 y=-190x+382520.又因为 y=-190x+382520 过点(2002，2140)，所以 y=-190x+382520 能较好地描述这一 变化趋势.所求函数关系式为 y=-190x+382520.(2)设 x 年时，入学儿童人数为 1000 人，由题意得-190x+382520=1000.解得 x=2008. 所以，从 2008 年起入学儿童人数不超过 1000 人.注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来 描述这一变化

5、趋势.三、决策型三、决策型例例 3 3、(2003 年甘肃省)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本 价(含设备损耗等)为 0.55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨的废渣产生.为 达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为 0.05 万元，并 且每月设备维护及损耗费为 20 万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理 1 吨废渣需付 0.1 万元的处理 费.(1)设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废

6、 渣时，y 与 x 之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求 又最合算.解析 先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.(1)y1=x-0.55x-0.05x-20=0.4x-20；y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.(2)若 y1y2，则 0.4x-200.35x，解得 x400；若 y1=y2，则 0.4x-20=0.35x，解得 x=400；若 y1y2，则 0.4x-200.35x，解得 x400.故当月生产量大于 400 件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于 4

7、00 件时， 两种方案利润一样；当月生产量小于 400 件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作 出的决策更合理.四、最值型四、最值型例例 4 4 、(2003 年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点， 对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份 0.2 元，卖出每份 0.3 元；一个月(以 30 天计)内，有 20 天每天可以卖出 200 份，其余 10 天每天只能卖出 120 份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份 0.1 元退回给报社.(1)填表：一个月内每天

8、买进该种晚报的份数 100 150 当月利润(单位：元) (2)设每天从报社买进这种晚报 x 份(120x200)时，月利润为 y 元，试求 y 与 x 之 间的函数关系式，并求月利润的最大值.解析 (1)由题意，当一个月每天买进 100 份时，可以全部卖出，当月利润为 300 元； 当一个月内每天买进 150 份时，有 20 天可以全部卖完，其余 10 天每天可卖出 120 份，剩 下 30 份退回报社，计算得当月利润为 390 元.(2)由题意知，当 120x200 时，全部卖出的 20 天可获利润：20(0.3-0.2)x=2x(元)；其余 10 天每天卖出 120 份，剩下(x-120

9、)份退回报社，10 天可获利润：10(0.3-0.2)120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利润为y=2x-x+240=x+240(120x200).由一次函数的性质知，当 x=200 时，y 有最大值，为 y=200+240=440(元).注：对于一次函数 y=kx+b，当自变量 x 在某个范围内取值时，函数值 y 可取最大(或 最小)值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.五、学科结合型五、学科结合型例例 5 5、(2002 年南京市)声音在空气中传播的速度 y(m/s)(简称音速)是气温 x()的一次函 数.下表列出了一组不同气温时的音速：气温

10、x() 0 5 10 15 20 音速 y(m/S) 331 334 337 340 343 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)气温 x=22()时，某人看到烟花燃放 5s 后才听 到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？解析 (1)设 y=kx+b，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得(2)当 x=22 时，334.25=1671(m).故此人与燃放的烟花所在地约相距 1671m.注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？ 小结：中考中与中考中与不等式结合不等式结合函数有关的

11、经济类型题函数有关的经济类型题例例 1 1 、荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批 货物运往广州，这列货车可挂 A、B 两种不同规格的货厢 50 节，已知用一节 A 型货厢的运 费是 0. .5 万元，用一节 B 型货厢的运费是 0. .8 万元。 （1）设运输这批货物的总运费为y（万元） ，用 A 型货厢的节数为x（节） ，试写出 y与x之间的函数关系式；（2）已知甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25 吨和 乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货厢，按此要求安排 A、B 两种货厢的节数，有哪几种运输

12、方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少 万元？解：（1）由题意得：)50(8 . 05 . 0xxy403 . 0xy与x之间的函数关系式为：y403 . 0x （2）由题意得： 1150)50(35151530)50(2035xxxx解得：28x30x是正整数x28 或 29 或 30有三种运输方案：用 A 型货厢 28 节，B 型货厢 22 节；用 A 型货厢 29 节，B 型货厢 21 节；用 A 型货厢 30 节，B 型货厢 20 节。（3）在函数y403 . 0x中y随x的增大而减小确定函数解析式，求函数值确定自变量取值范围

13、实际问题数学问题 方案设计：利用不等式或不等式组及题意方案决策： 最优方案：利用一次函数的性质及自变量 取值范围确定最优方案 解决问题当x30 时，总运费y最小，此时y40303 . 031（万元）方案的总运费最少，最少运费是 31 万元。例例 2 2 、某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A 种产品，需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千 克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获 利润 1200 元。 （1）按要求安排 A、B 两种产品的生产

14、件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产 A、B 两种产品获总利润为y（元） ，生产 A 种产品x件，试写出y与 x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利 润是多少？解；（1）设需生产 A 种产品x件，那么需生产 B 种产品)50(x件，由题意得： 290)50(103360)50(49xxxx解得：30x32x是正整数x30 或 31 或 32 有三种生产方案：生产 A 种产品 30 件，生产 B 种产品 20 件；生产 A 种产 品 31 件，生产 B 种产品 19 件；生产 A 种产品 32 件，生产 B 种产品 18 件。（2）由题意得；

15、)50(1200700xxy60000500 xy随x的增大而减小当x30 时，y有最大值，最大值为：600003050045000（元）答：y与x之间的函数关系式为：y60000500 x， （1）中方案获利最大， 最大利润为 45000 元。例例 4 4 、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过 7 立方米时，每立方米收费 1. .0 元并加收 0. .2 元的城市污水处理费，超过 7 立方米的部分每 立方米收费 1. .5 元并加收 0. .4 元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米） ，应 交水费为y（元） （1）分别写出用水未超过 7 立方米

16、和多于 7 立方米时，y与x之间的函数关系式； （2）如果某单位共有用户 50 户，某月共交水费 514. .6 元，且每户的用水量均未超过 10 立方米，求这个月用水未超过 7 立方米的用户最多可能有多少户？解：（1）当 0x7 时，xy)2 . 00 . 1 (x2 . 1当x7 时，72 . 1)7)(4 . 05 . 1 (xy9 . 49 . 1x（2）当x7 时，需付水费：71. .28. .4（元） 当x10 时，需付水费：71. .21. .9（107）14. .1（元） 设这个月用水未超过 7 立方米的用户最多可能有a户，则：6 .514)50( 1 .144 . 8aa化简得：4 .1907 . 5a解得：572333a答：该单位这