幂级数(教案)

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1、教教 案案 幂级数幂级数 教学内容教学内容 将初等函数展开成幂级数，是研究函数的表示、性质和进行近似计算的重要 方法，也是微积分理论中不可或缺的一个部分。本节介绍幂级数的概念与性质， 以及函数如何展开为幂级数问题，进一步还要指出幂级数在近似计算中的应用。 具体内容如下： （1） 幂级数的收敛半径和收敛域的概念及计算方法； （2） 幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质； （3） 函数的 Taylor 级数的概念及初等函数的 Taylor 展开方法； （4） 介绍利用函数的 Taylor 展开进行近似计算的方法。 教学思路和要求教学思路和要求 （1）介绍函数项级数及其收敛域的概念，进而引

2、出重要的幂级数的概念； （2）幂级数的收敛域有着独特的对称性，如何计算幂级数的收敛半径和收 敛域是一个重点； （3）幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用， 因此也是课程中的一个重点，是学生必须要掌握的知识点； （4）函数的幂级数（Taylor 级数）展开是微积分学中的重要工具，是学生务 必要掌握的数学方法。关于这部分内容，首先讲解利用 Taylor 公式，将一些基本 的初等函数展开为 Taylor 级数或 Maclaurin 级数。在此基础上，讲解一般初等函 数的 Taylor 展开的方法，也就是间接展开法。 （5）介绍函数的幂级数展开的应用，重点在于近似计算。 教学安排

3、教学安排 一函数项级数 现在将级数的概念推广到通项为函数的情况。设nu（, 2 , 1n）是一列定义在数集I上的函数（这时也称nu为函数序列） ，称用加号按顺序将这列函数连接起来的表达式 nuuu21为函数项级数，记为1nnu。本章中为叙述方便也常记作1)(nnxu。 函数项级数的收敛性可以借助数项级数得到。 定义 9.2.1 若对于固定的0xI，数项级数10)(nnxu收敛，则称函数项级数1)(nnxu在点0x收敛，或称0x是1)(nnxu的收敛点。这些收敛点全体所构成的集合D称为1)(nnxu的收敛域。 对于收敛域D上的每个x，都对应了一个收敛的数项级数1)(nnxu，记其和为)(xS，这

4、样就定义了一个D上的函数 )(xS1)(nnxu，Dx， 它称为函数项级数1)(nnxu的和函数。 和函数也可以如下得到：作1)(nnxu的部分和函数： nkknxuxS1)()( （Ix） ，, 2 , 1n。 显然， 使)(xSn收敛的x全体正是收敛域D。 因此1)(nnxu的和函数)(xS就是在D上部分和函数序列)(xSn的极限，即 )(lim)(xSxSnnnlim nkkxu1)(， Dx。 与数项级数一样，在收敛域D上定义 1)()()()(nkknnxuxSxSxr， 它称为函数项级数1)(nnxu的余项。 例 9.2.1 nxe（, 2 , 1n）是一列定义于),(上的函数。显

5、然对于每个固定的),(x，1nnxe是等比级数。 这个函数项级数的收敛域为), 0(，和函数为11)(xexS。 这个例子也说明了函数项级数的收敛域并不一定是原来函数序列的公共定义域。 二幂级数 以下形式的函数项级数 n n nn nxxaxxaxxaaxxa)()()()(02 02010 00称为幂级数，其中na（, 2 , 1 , 0n）为常数，称为该幂级数的系数。 为了方便我们常取00x，也就是讨论 n n nn nxaxaxaaxa2 210 0， 因为只要做一个平移0xtx，所得的结论便可以平行推广到00x的情况。 例如，0nnx、1nnnx和0) 1)(1(nnxn都是幂级数。

6、下面我们将讨论两个方面的问题： 第一， 对给定的幂级数， 它何时是收敛的？具有什么性质？并尝试求出一些幂级数的和函数；第二，对给定的函数，是否可以将它表示为幂级数？如何求初等函数的幂级数展开式？ 三幂级数的收敛半径 一个自然的问题是，幂级数的收敛域是什么样的？下面的定理说明了它的收 敛域是一个区间。 定理 9.2.1（Abel 定理）如果幂级数0nn nxa在0x（00x）点收敛，那么对于一切满足|0xx 的x，它绝对收敛；如果幂级数0nn nxa在0x点发散，那么对于一切满足|0xx 的x，它也发散。 证 设0x（00x）是幂级数0nn nxa的收敛点。根据级数收敛的必要条件，0lim0 n

7、 nnxa，于是存在正数M，使得 Mxan n |0，, 2, 1, 0n。 因此，对于满足|0xx 的x有 nnn n nn nxxMxxxaxa000|。 由于级数00nnxxM收敛，因而0|nn nxa也收敛，即级数0nn nxa绝对收敛。 若幂级数0nn nxa在0x点发散，那么对于满足|0xx 的x，它也发散。否则的话，由刚才的证明知道，幂级数在x处收敛，就决定了它在0x处收敛，这与假设矛盾。 证毕 这个定理说明，一定存在一个)0( RR，使得幂级数0nn nxa的收敛域就是从R到R的整个区间（R为正实数时可能包含端点也可能不包含端点； 0R时就是一点0x） ，并且在区间内部，它绝对

8、收敛。这个区间也称为该幂级数的收敛区间，而R称为幂级数0nn nxa的收敛半径。 根据数项级数的 Cauchy 判别法，若极限 nlimnn nxa| nlim|xann 存在， 那么当此极限值小于1时，0nn nxa绝对收敛； 当此极限值大于1时，0nn nxa发散。如果令 nAlimnna |，那么显然有 .), 0(, 0, 0,1,AAAAR 这就证明了： 定理 9.2.2 (Cauchy - - Hadamard 定理) 若幂级数0nn nxa的系数满足 nlimAann|， 且R同上定义，那么级数0nn nxa当Rx |时绝对收敛；当Rx |时发散。此时 R为幂级数0nn nxa的

9、收敛半径。 当R时，说明幂级数对一切实数x都是绝对收敛的；当0R时，说明 幂级数仅当0x时收敛。注意在区间的端点Rx处，幂级数收敛与否必须另 行判断。 由 DAlembert 判别法，如果 nlimAaann1，则同样也可如上确定幂级数0nn nxa的收敛半径R。事实上可以证明，这时成立 nlimnna | nlimAaann1。 例 9.2.2 易计算 1nnx的收敛半径是 1，收敛域是) 1, 1(； 1nnnx的收敛半径是 1，收敛域为) 1, 1； 12 nnnx的收敛半径是 1，收敛域为 1, 1； 1!nnnx的收敛半径是，因此收敛域为),(R； 1) !(nnxn的收敛半径是 0

10、，因此收敛域为单点集0。 例 9.2.3 求幂级数0!nnn xnn的收敛半径。 解 记! nnann，则 nlimnn aa1nlim!)!1() 1(1nnnnnnennn 11lim， 所以收敛半径eR1。 例 9.2.4 求幂级数 112 2)3(nn nnxn的收敛半径。 解 这是缺项幂级数，nx2（, 2, 1n）项的系数为 0，不能直接用上面的公 式来计算收敛半径，而采用如下的计算方法。因为 212112|31| )3/2(13lim2)3(limxxnxnnnnnnnn nnn ， 所以，当2|31x1，即3|x时， 112 2)3(nn nnxn收敛；而当1|312x，即3|

11、x时， 112 2)3(nn nnxn发散。 因此由收敛半径的定义， 收敛半径3R。 例 9.2.5 求幂级数121) 12(nnn xn的收敛域。 解 令21 xt，那么上述级数变为 1) 12(nnn tn。 因为 nlimnnn) 12(12 ， 所以收敛半径为12 R。当12 t时，级数1) 12(nnn tn为11nn，它是发散的。当) 12(t时，级数1) 12(nnn tn为1) 1(nnn，它是收敛的。因此1) 12(nnn tn的收敛域为) 12, 21 。从而幂级数121) 12(nnn xn的收敛域是 212,223。 四幂级数的性质 设幂级数0nn nxa的收敛半径为R

12、，0nn nxb的收敛半径为R， 且0,RR。那么0nn nxa和0nn nxb都在 | x),min(RR上绝对收敛， 因此在 | x),min(RR上成立 0nn nxa0nn nxb0)(nn nnxba， 以及 0nn nxa0nn nxb 00nnnkknkxba， 上式右边就是这两个级数的 Cauchy 乘积。 现在介绍幂级数0nn nxa的连续性、 可微性和可积性。 我们这里仅叙述结论，并给出一些应用这些性质的例子。 定理 9.2.3 （和函数的连续性） 设0nn nxa的收敛半径为R（0R） ，则其和函数在),(RR连续，即对于每个),(0RRx， 00 00limnn n n

13、n nxxxaxa。 若它在Rx （或Rx）收敛，则和函数在Rx （或Rx）左（右） 连续，即 000limnn n nn nRxRaxa （000)(limnn n nn nRxRaxa） 。 以上两式意味着求极限运算可以和无限求和运算交换次序。 定理 9.2.4 （逐项可积性） 设0nn nxa的收敛半径为 R （0R） ， 则它在),(RR上可以逐项积分，即对于任意),(RRx成立 xnn ntta 00d 01 1nnnxna。 上式意味着积分运算可以和无限求和运算交换次序。 定理9.2.5 （逐项可导性） 设0nn nxa的收敛半径为R（0R） ， 则它在),(RR上可以逐项求导，即

14、 xdd0nn nxa0ddnn nxax11nn nxna。 上式意味着求导运算可以和无限求和运算交换次序。 定理 9.2.6 设幂级数0nn nxa的收敛半径为R， 则 01 1nnnxna和11nn nxna的收敛半径也为R。 这就是说，对幂级数逐项积分或逐项求导后所得的幂级数与原幂级数有相同 的收敛半径。 虽然逐项积分后所得幂级数 01 1nnnxna和逐项求导后所得的幂级数11nn nxna与原幂级数0nn nxa收敛半径相同，但收敛域却可能扩大或缩小。 例 9.2.6 求幂级数11) 1(nnn xn的和函数。 证 易知111) 1(nnnx的收敛半径为 1，且 xxnnn 11) 1(111， ) 1, 1(x。 因此对任意) 1, 1(x，应用逐项积分定理得 dttnxnn1011) 1(xtdt01， 即 )1ln() 1(11 xxnnnn ， ) 1, 1(x。 由