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1、第 10卷 第 8期 2010年 3月 1671-1815(2010) 08 -1925-05 科 学 技 术 与 工 程 Science Technology and EngineeringVol 110 No 18 M ar 120102010 Sci 1Tech1Engng 1蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法 在期权定价中应用的比较研究牟旷凝(上海交通大学安泰经济与管理学院, 上海 200030)摘 要 在期权的交易中, 最关键的问题是期权定价。蒙特卡洛模拟作为期权定价的有效的数值方法之一, 近年来发展迅速。然而蒙特卡洛方法产生的随机数为伪随机数有收敛速度慢、 计算量大等缺陷。拟蒙特卡洛模拟
2、是采用拟随机数序列代替伪随机数序列的蒙特卡洛模拟。通过考察线性同余发生器; Halton序列、 Sobol p序列等拟随机数序列的特点, 以欧式看涨期权为对象研究了蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法的有效性。对比实验显示了拟蒙特卡洛模拟明显优于蒙特卡洛模拟。关键词 蒙特卡洛模拟 拟蒙特卡洛模拟 随机序列 期权定价中图法分类号 F830. 9 ; 文献标志码 A2009年 12月 2日收到作者简介: 牟旷凝, E-maiL: kuangning. mu gmai.l com。随着金融市场的不断完善和发展, 金融衍生产品类型越来越丰富, 期权逐渐成为一种重要的基础性金融衍生产品。期权 ( Option)
3、, 是指赋予其购买者在到期日内按双方约定的价格或执行价格购买或出售一定数量标的资产的权利的合约。一份期权合约的主要要素就是标的资产、 到期日和敲定价格。期权定价是期权交易的首要问题, 在期权定价方面首推著名的 B lack -Scholes期权定价公式。在用B-S定价模型为实物期权进行定价时, 作了很多的假设。实际上, 该定价模型中的一些不确定因素是很难事先确定的。为了解决期权定价中不确定因素产生的影响, 有学者把蒙特卡洛模拟方法应用到期权定价中。该方法可以有效地通过统计方法消除不确定性对价值计算的影响。在用蒙特卡洛方法进行计算时产生的序列为伪随机数序列。伪随机数序列由确定的算法生成, 看似具
4、有随机性, 实则无法做到真正的随机, 无论伪随机数用什么方法产生, 它的局限性在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值,因此低偏差的确定性序列非常有用。随着 H alton序列、 Faure序列、 Sobolp 序列等拟随机序列的产生,蒙特卡洛模拟也发展到了拟蒙特卡洛模拟。雷桂媛 ( 2003) 1认为我们经常要面临一些有非常高维数的问题。因为蒙特卡洛方法是对问题进行采样, 所以它不是严格的、 精确的解法。但是我们能用相对于问题的维数而言相当小的样本得到近似精确解。事实上, 虽然蒙特卡洛和拟蒙特卡洛方法可能比较耗时, 但它们是解决高维问题唯一切实可行的方法。李亚
5、妮 ( 2007) 2对比了拟蒙特卡洛方法与蒙特卡洛方法在误差估计方面的差异,结合已有文献的实证结果分析了拟蒙特卡洛方法应用于期权定价应注意的问题。利用 ( t, m, d ) 网格与 ( t, d) ) 序列的知识说明了低偏差序列的均匀性并指出低偏差序列起始点选择与高维聚丛效应;讨论了最新的研究方向: 随机化拟蒙特卡洛和降低有效维的布朗桥与主成分技术。向文彬, 向开理( 2008) 3评价了蒙特卡洛模拟的三个改进方向: 基本方差减少技术、 拟蒙特卡洛模拟、 随机化的拟蒙特卡洛模拟, 提出了利用超均匀序列 Ha1ton序列的拟蒙特卡洛模拟技术。1 基本概念与随机数的生成原理蒙特卡洛方法 (Mo
6、nte Carlo method又称 MC),也称统计模拟方法, 是 20世纪 40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明, 而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它把问题看成一个黑箱, 输入伪随机数流, 通过分析输出, 得到感兴趣的估计值。随着拟随机序列的出现, 蒙特卡洛方法也已经发展到拟蒙特卡洛方法 ( Quas- iMonte Carlo method又称 QMC)。两者虽然方法相似但理论基础不同。拟蒙特卡洛方法对估计效果的改进取决于拟随机序列在抽样样本空间中分布的均匀性。序列分布得越均匀, 其改进效果越明显。通常用偏差率来表示这种均匀性, 均匀程度越高,
7、 其偏差率越低。因此拟随机序列有时也称为低偏差率序列, 拟随机序列的模拟也可称为低偏差率序列的模拟。蒙特卡洛方法成功与否, 很大程度上取决于随机数序列的选取。产生随机数序列有多种不同的方法。这些方法被称为随机数发生器。随机数最重要的特性是它产生的后面的那个数与前面的那个数毫无关系。现实生活中不可能产生绝对随机的随机数, 计算机也只能生成相对的随机数, 即伪随机数。1 . 1 伪随机数序列一个广泛使用的产生均匀伪随机数的方法是线性同余方法。线性同余方法有三个参数, 其中 m 是值很大的正整数, a是满足 1 a m 和 gcd(a, m ) = 1的整数, c是集合 Zm= ( 0 , 1 ,
8、, m - 1)的任意元素。一旦我们选择、 确定了初始值 y0I Zm, 就可以用下列的递归公式产生一系列的数 y0, y1, ,I Zm。yn+ 1S ayn+ cmod m, n= 0 , 1 , ,。于是线性同余伪随机数就可以用这些数除以 m得到xn=yn mI I 0, 1 , n= 0 , 1 , ,。这里, m 被称作模, a被称作乘数。模的选择通常是根据计算机的字长, 通常选择 m 为质数。典型的值有 m = 232或者 Mersenne素数 m = 232- 1 。为满足更高精度的计算需求, m 的值也会取 248。线性同余生成器可以达到的最长周期为 m - 1 , 我们可以通
9、过适当的选择 m 和 a, 使无论选取怎样的初值 y0, 都可以达到最大周期。1 . 2 拟随机数序列差异性是对点的分布均匀性的一种说明, 低差异指分布较均匀。拟随机数具有低差异性的特点。好的均匀分布很需要低差异性。在多维均匀分布中, 低差异表示点之间没有大的距离及大的聚集现象。拟随机数序列是低偏差的确定性序列, 这些随机数就是实际问题中需要模拟的概率分布的样本。这些序列的任意长的子序列都能均匀的填充在空间中。满足这个要求的常见的序列有 Halton序列、Sobolp 序列、 Niederreiter序列、 Van der Corput序列、Faure序列等等。这里只介绍下文中将使用的 H a
10、- lton序列和 Sobolp 序列。1 . 2 . 1 Halton序列H alton序列是基本的低偏差序列。n维的 H a- lton序列是以 n个数为基, 将一系列数表示成某个基的位数的形式, 然后将这些数位反序排列再在前面加小数点而得到的值。将 n维的 Halton序列表示成 h1, h2, , 其中每一个随机数都是 n 维向量, 即hi= (hi1, hi2, , hin)。通常的步骤如下, 首先选择 n个基 b1, b2, , bn, 通常会选择前 n个素数, 对于一个整数 m, 可以将 m 表示为基于 bj的形式, 然后再将这些数按反序排列再在前面加上小数点得到的新的值,表示成
11、十进制位数就是序列中某个向量的第 j个元素。举个例子, 比如取 n= 3 , 即是 3维的随机序列, 基于前三个素数 2 , 3 , 5 。取数为 17 , 即把其分别表示为17= 100012, 17= 1223, 17= 325, 反序再在前面加小数点得到一个序列 h = ( 01100012, 012213, 01235), 即h= (01501 953 , 01925 926 , 01520 000)。一维的 H alton序列, 即以一个大于等于 2的数为基的序列就是著名的 Van der Corput序列, 是最简单也是最基本的拟随机序列。1 . 2 . 2 Sobolc 序列So
12、bolp 序列的每个维度都是以 2为基的 Van der1926科 学 技 术 与 工 程9卷Corput序列。 Sobolp 序列是基于一组叫做 /直接数 0的数 vi而构造的。设 mi是小于 2i的正奇数, 有vi=mi2i。数 vi(同时 mi)的生成借助于简单多项式xq+ c1xq- 1+ ,+ cq- 1x+ 1 , ciI0 , 1 。对于 i. q, 利用递归公式vi= c1vi- 1 c2vi- 2 , cqvi- q vi- q/2q。对于 mi, 对应的递归公式为mi= 2c1mi- 1 22c2mi- 2 , 2pcqmi- q mi- q。上式中的代表二进制的按位或运算
13、, 其基本运算规则为1 0= 0 1S 1 , 1 1= 0 0S 0。通过以上的随机数生成方法生成的都是 U( 0 , 1)的均匀分布的随机数, 它是生成其他概率分布随机数的基础。然而在实际的金融计算中, 多使用的是正态分布函数。现已得到了 U( 0 , 1)分布,主要有两种将 U( 0 , 1)随机数转换为其他分布的随机数的方法: 逆变换法和舍取方法。这一过程在M atlab可以使用相应函数实现, 在此不再累述。2 期权定价期权按照买者的权利划分, 期权可分为看涨期权和看跌期权。凡是赋予期权买者购买标的资产权利的合约, 就是看涨期权; 而赋予期权买者出售标的资产权利的合约就是看跌期权。显然
14、看涨期权的购买者预期标的资产价格上涨, 而看跌期权的购买者预期标的资产价格下跌。期权按照买者执行期权的时限划分, 期权可分为欧式期权和美式期权. 欧式期权的买者只能在期权到期日才能执行期权。而美式期权允许买者在期权到期前的任何时间执行期权。尽管欧式期权更易于定价, 但实际交易的期权大多都是美式期权 4。对于某标的资产, 在 t时刻时价格为 St, 期权价格为 Vt, K 为执行价格。存在一个函数以 t 、 St为自变量, Vt为因变量, 表示为 Vt= V (St, t), 到期日期权的价值, 即期权的收益 VT=(ST-K )+, 看涨期权(K - ST)+, 看跌期权,期权定价问题就是求
15、VT= V(ST, T )。根据 BS市场模型: 假定进入市场由两项资产构成; 债券市场 (无风险资产 )和股票市场 (风险资产 )。设 S ( t)为标的资产股票在 t时刻的价格, B( t)为债券在 t时刻的价格, T 为到期时间, K 为执行价格, 在 Black -Schloes的条件下, 标的资产的股票价格 S( t), 采用几何布朗运动建模, 即:B( t) = exp(rt), S( t) = S0expL-1 2R2t+ RWt,其中 W =Wt, t0 , 为标准布朗运动, r为无风险利率。在风险中性的条件下, 欧式看涨期权的定价公式为:C0= e- rTEQ(m ax(ST
16、- K, 0) ), 其中 EQ为风险中性的数学期望。其具有封闭的定价方程:C0= S0N (d1) - K exp( - rT )N (d2);d1=lg(S0/K ) + ( r+ 1/2R2)TR T;d1=lg(S0/K ) + ( r- 1/2R2)TR T;N (x)为标准正态分布函数 5。3 蒙特卡洛方法与拟蒙特卡洛方法的比较实验本节将欧式看涨期权作为对象, 对比拟随机数和伪随机数在解决实际问题时中的表现, 进而评价拟蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛模拟。设有这样一个股票期权, 股票初始价格为 50 ,行权价格为 52 , 有效期限为 5个月, 无风险利率为10 . 0 % , 波动率为 20 . 00%, 利用上述的 B-S公式计算出的理论期权价格为 2 . 631 8元。分别采用伪随机序列的蒙特卡洛模拟方法和使用二维 Halton序列以及 Sobolp 序列比较几种模拟的结果。伪随机序列由 M atlab中的 rand( )函数直接得到。利用 Halton序列和 Sobolp 序
