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1、纪念中国统计学会成立三十周年暨第十五次全国统计科学讨论会文集一、引言关于分层抽样的误差估计西安财经学院王佐仁分层抽样方法在文献中有过探讨，但是是对不放回抽样，在舍去无穷小量部分后，得出了按比例抽样方差不超过简单随机抽样方差的结论。本文运用概率方法，通过把多维随机变量的值域进行分层，构造出一类随机变量，在分析了其具有良好性质的基础上，以两种抽样方式证明了，多维情况下按比例抽样方差不超过随机抽样方差，推广了文献 8 的结论。本文为了叙述方便，以一维的情况进行叙述。多维类似。二、一类随机变量的构造及其性质( I ) 设一维随机变量孝的值域为D ，将其分为刀个可测子集，分别记为皿( 扛l ，2 ，撑)
2、 且满足：D = U 皿n 皿= ( I I ) 规定取值在口( f = 1 ，2 ，n ) 上的随机变量：磊= 孝孝皿，( 扛l ，2 ，n )且相互独立。令尹( 孝叠) = 辑( 口f o ，口；= 1 )x C 于v o “ D i ，则鼻( 磊D f ，) = 二P ( 孝F ) ， “i则专的分布函数为：只( x ) = 只( 最 X ) = 二尸( 善 x ；善毋) “j显然有F ( 戈) = 户( 孝 x ) = P ( 参 工；专B )定理1 ：设z = 呸参( i = 1 ，2 ，刀) 则z 有：( 1 ) E ( Z ) = 霹 ( 2 ) D ( Z ) 粤野 g ) 必
3、l S j S n证明：( 1 ) 占( z ) = E ( 主参) = 芝( ，参咖，) = 杰( 哆j 磊匆)i = 1i = 1口i = 1“fD J= 窆( ，缶勿) = 霹6 0 5纪念中国竺盐堂全堕皇三旦! 嬖笙至盗全里篓生型堂盟堡全壅叁一- _ 一一 ( 2 ) D ( z ) = D ( 窆呸毒) = 窆( 口，2 D 茧) = 芝 a i 2 ，( 缶一磁) 2 蛾i = 11 5 I一1奶= 口，2 ，( 磊一霹+ 骘一磁) 2 蛾= 窆2 ，( 茧一霹) 2 啦 + 2 童 a i 2 ，( 毒一霹) ( 霹一聪) 劫t 睁Iq8 1毋+ 叼，( 霹一磁) 2 如= i
4、= 1= i = i q 2 上f ( 孝一霹) 2 d p 一 G i 2 ( 蟛一瑶) 2 吒矗瑚，( 孝一霹) 2 勿卜 口，2 ( 彤一磁厂 m 雠a x 。慨) 矗i l l一概率分配样本下的抽样误差( 一) 在( I ) ( I I ) 的基础上，设从总体善中有放到地抽取答重为M 网于枰，子样均值记为手；从子总体磊( f = 1 ，2 ，以) 中有放回地抽取容量为m ；的子样，记为茧( f ：1 ，2 ，) ，且满足喜鸭= M ，子样均值记为百= 上m ；羔t = l 磊定理2 ：设艺= 窆i = 1 虿，( 江1 ，2 ，棚)则有：( 1 ) E ( 乞) = E 手( 2 )
5、当堕M2 口r 时，D ( 乏) D 手证明：( 1 ) 由定理1E ( Z ) = 必= 骘( 2 ) 。( 三) = 。( 喜虿) = 喜矿吉。磊而D 手= 吉D 舌( D 孝为简单随机抽样下总体孝的方差)要证明喜矿去。磊击。善，即要证明窆i = 1 矿M D 毒。孝事实上，喜矿等。毒= 喜k t 点参咂磊) 2 蛾= 杰 ，( 磊一骘+ 霹一聪) 2 幽 _ k 白一霹) 2 蛾 一 l = lAt f f i l岛之咄( 霹一比) 2 = 窆 ，( 孝一霹) 2 勿 一咄( 骘一比) 2 in=Ii=Il f f i !纪念中国统计学会成立三十周年暨第十五次全国统计科学讨论会文集= 必
6、一( 骘一必) 2 D 孝 f = l从而证明了D ( Z ) D 孝( 二) 在( I ) ( I I ) 的基础上，设从大小为N 的总体亏甲个 叹凹嗣于田取谷重为M的子样，子样均值记为手；其中从大小为f 的子总体专上不放回的抽取容量为的子样，记为磊( f ：1 ，2 ，镌) ，且满足窆M = ，窆m I - - M ；子样均值记为百=去善铲，子样方差记为墨2 = 瓦l 鲁x 争时- ) 一劢2 令z5 薏，厂2 等，呸2 等定理3 ：设乏= 窆a i 百则有：( 1 ) E ( 乞) = 砖( 2 ) 当厂2 Z ，2 万m i 时，D ( 三) D 芋证日月 一一( 1 ) 由定理2E
7、( Z ) = 腾( 2 ) 。( 艺) = 。( 喜虿) = 喜口2 ，。百= 杰i = l 口2 t I - ；z 墨2而D ( 手) = ! 上S 2 ( S 2 为简单随机抽样下总体x ，的方差)M。要想证明喜口2 ，l - _ f , 墨2 1 - _ M Z fs 2 ，即要证：喜哆墨2 s 2事实上窆墨z = 窆 吉兰候一劢z = 吉1 窆 羔候一百) 2 事实上墨2 = 争候o 一茧) 2 2 面 候o 一茧) 2 i = 1i = 1it = l1 i = lt = l= 吉窆 兰( 磊一手+ 手一百) 2 = 万1 喜( 羔t = l ( 伊药2 一专嘻M ( 手一矾轷一喜等( 手一弧s 2从而证明了D ( Z ) D 善特别地，当把多指标变量的值域划分为若干矩形子区域时，在定理2 和定理3 中我 们能得到D ( 艺) D 手，即构造的抽样统计量的方差严格小于简单随机抽样时的方差，可见其具有非常良好的性质。6 0 7
