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1、位育中学位育中学 20142014 学年第二学期高二期中考试数学卷学年第二学期高二期中考试数学卷2015-4-21 一、填空题一、填空题（每题 3 分，共 42 分） 1、i 是虚数单位，i2015i2016_ 2、正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为_ 3、若复数z满足zi(2z)(i 是虚数单位)， 则z的 模等于_ 4、正三棱柱ABCABC的AAAB2，则点A到BC的距离为_ 5、 在复数范围内，纯虚数 i 的三个立方根为_6、已知长方体的对角线的长为，长、宽、高之和为 9，则此长方体的表面积为29_ 7、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线与底面所成角大小为 _ 8、实系数
2、一元二次方程x2axb0 有一个虚数根的模为 2，则a的取值范围是 _9、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为棱CC1的中点，则直线AC112 2CC 与平面BDE的距离为_ 10、在复平面上，已知正方形OABC(按逆时针方向，O表示原点)中的一个顶点B对应的复数为 12i，则所对应的复数z_BCuuu r11、PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD为定长，当AB的长度变化时，异面直线 PC与AD所成角的取值范围是_12、已知关于x的方程有实根，则复数z的模的最小值为212i0xzx _ 13、已知三棱锥底面是正三角形，给出下列条件： (1) 三条侧棱长相等；(2)
3、 三个侧面都是等腰三角形；(3) 三条侧 棱两两垂直； (4) 三个侧面与底面所成的角相等；(5) 三个侧面都是等边三角形 其中使三棱锥成为正三棱锥的充要条件充要条件的 有_（写出所有正确条件的 序号） 14、在xOy平面上，将抛物线弧y1x2(0x1)、x轴、y轴围成的封闭图 形记为D，如图中曲边三角形OAB及内 部记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ，过点(0,y)(0y1)作 的水平截面，所得截面面积为(1y)， 试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原 理得出 的体积值为_OxyABy1x2(0x1)y二、选择题二、选择题（每题 3 分，共 12 分） 15、给出下列命题： (1) 底面是矩
4、形的平行六面体是长方体；(2) 底面是正方形的直平行六面体是正四棱 柱； (3) 底面是正方形的直四棱柱是正方体；(4) 所有棱长都相等的直平行六面体是正方 体 以上命题中正确命题的个数是( ) A1B2C3D4 16、已知、是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 17、下列命题中，正确的是( ) A若z是复数，则|z|2z2B任意两个复数不能比较大小 C当b24ac0 时，一元二次方程ax2bxc0(a、b、cC C)有两个不相等的实数根 D在复平面xOy上，复数zm2mi(mR R，i 是虚数单位)
5、对应的点的轨迹方程是y2x 18、复数z满足方程|z1|zi|2，那么它在复平面内所表示的图形是( ) A线段B圆C椭圆D双曲线 三、解答题三、解答题（本大题共五题，满分 46 分） 19、 （本题满分 6 分） 关于复数z的方程z2(ai)z(i+2)0(aR R)证明对任意的实数a，原方程不可能有 纯虚数根20、 （本题满分 8 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 5 分）正三棱锥的侧面是底边长为，顶角为 30的等腰三角形过ABCP a 点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上 (1) 如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；(2) 周长的最小值是否存在？若存在，求出
6、其最小值，并指出此AEF 时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由PBCAEF21、 （本题满分 10 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分） 如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD (1) 求证等腰四面体ABCD的每个面都是锐角三角形； (2) 求等腰四面体的体积及其外接球的表面积22、 （本题满分 10 分）设复数z满足，wsinicos ( R R)求z的值和|zw|的取值范423 3izz围23、 （本题满分 12分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 5 分）ABCDEFGH如图，等高的正三棱锥PABC与
7、圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆 O的直径ADBC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为 1，圆锥体积为3 3(1) 求圆锥的侧面积； (2) 求异面直线AB与SD所成角的大小；(3) 若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三3 棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小APSDOCEBM位育中学位育中学 20142014 学年第二学期高二期中考试数学答案学年第二学期高二期中考试数学答案 一、填空题一、填空题1、1i；2、；3、；4、；5、i, ；6、52；1arccos3214 231i227、60；8、(4,4)； 9、1；10、；11、；12、；31i22(
8、,)4 2 2 5213、(1)、(4)14、2二、选择题二、选择题 15、A16、B17、D18、C 三、解答题三、解答题 19、 （本题 6 分） 证明：假设原方程有纯虚数根,令zbi,(bR，b0)， 则有(bi)2(ai)bi-(i+2)=0，整理可得b2b2(ab1)i=0，3 分所以，220, 10,bb ab 则对于，判别式 0,方程无实数解,故方程组无解,故假设不成立， 所以原方程不可能有纯虚根6 分20、 （本题满分 8 分） 解：(1) 延长FE、CB相交于点Q，连结AQ， 则AQ为所求的交线；3 分(2) 存在，周长的最小值为，6AEF( 31)a分 此时直线BC/平面A
9、EF8 分PBCAEFQ21、 （本题 10 分） 解：(1) 易知四个面是全等的三角形 三边长分别为，22xbc22yca22zab不妨设abc，则最大边x所对角 的余弦 值22222222cos02yzxa yzabca 为锐角， 三角形为锐角三角形4 分(2) 体积7 分1114323Vabcabcabc外接球半径22211 22RBFabc外接球的表面积S4R2(a2b2c2)10 分22、 （本题满分 10 分）解：设zabi(a,bR R)，则zabi，代入，423 3izz得，即34(i)2(i)3 3iabab62 i3 3iab分解得，；53 2 1 2ab ，31i22z
10、分223131|(sin )(cos )i(sin )(cos )23sincos2222zw.822sin()6分， ，0|zw|2101sin()16 022sin()46分ABCDEFGH23、 （本题满分 12 分） 解：(1) 设圆锥的高为h，由213133Vh得，SD2，3h S侧2；3 分(2) 作DF/AB交圆O于F，连结AF、SF，则SDF（或其补角）就是异面直线AB与SD所成角，RtADF中，AD2，ADFEAB30，3DF 等腰SDF中，3 32cos24SDF异面直线AB与SD所成角大小为；7 分3arccos4(3) 由题意知，3ABCOS Se333ABCOSSe则正三棱锥的底面ABC的边长为 2，3AE 设点Q是正ABC的中心，则Q在AE上，PQ平面ABC，PAQ三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角，RtPQA中，3PQh22 3 33AQAE3tan2PQPAQAQ三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小为123arctan2分DSO FAQCPEBM
