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1、1983年第 一 期(二)过D点作AB或AC为平 行线,如(3)、(4);(三)过C点作A D或B的平行 线,如(5 )、.29(6)通过本定理的各种证明方法揭示以下的证题坝题设中不存在柑似或平行条件,则需 t 1 J辅助线,且以辅助线为图形中某线的平行线;(二)该线在图形 巾位置的选取,一般可 通过比例式中在同一直线上的两条线段的各端点。律(一)在证明成比例的线段或等积线段时,若(作者单仪:天津市第五中学)复数在证明三角恒等式中的应用霍润德一臼士鱼)c o”娜口c。”(n+l)“ 一1a一2n兮月,复数的应用极其广泛,本文拟就复数在证明三角恒等式中的应 用作一介绍。复数Z的模用r表示,幅角用
2、O表 示,这里r)。,o(O提2.每一个不等于零的 复数 z与有序实数对( r,0 )一一对应;当z二o时,规定r=0,O不确定。我们知道,每一个复数Z都可 以表示成三角形式,反过来,三角函数也可用 复数表示出来。例如:设n”“一 ”一( 1.里:艺 k=l”in“+J (k一1)d81n z a*(二n %ld) ,d斗0- d2 nSZ=c oso卜isino-Z+玄22+1一2-一22Z=e 58一之s尸。0,则c oss=s还0二Z一Z22一1一212.,二,二,。 .(1。2)i22一1i(22+1).艺 k=l口”“+(k一1)dtgo证明 三角恒等式时,只需将d斗0。d一2 nS
3、三角形式的条件转化为复数形式,再通 过复数的恒等变换即可。_巾晋、S( a +n石d)一、求证:n 艺k,in协k=1=恤卫吵蒸了餐些立礴;2,二,.、, ,. .一:艺 k= =1.,匀n百.s lnSln长口二一一-,一一一一n+128 1n 2, , 二, 1“ cos玄+”InZ“一2 芝 k=eo sZk“=sin n “c os(n+1)“.511加 “=一4sinZ: SZ1一(n+1) Zn一45三nZ+nZn+几Z一.一“一2” ,.,(1。4n 艺s i D、2 k二l)“=工二旦夕 吕全竺 k=1n以(n+1)Zn一n Zn+一1 ., ,“ , ,”“普 n 艺 k=1
4、eo s(Zk一I)“ =s讥211“ Zsina以n+1)eos加一ncos(n+1)a 一l2l 式证明如下:4sin:竺 2+i(n+1)sin n “。Zk=k(e o ,ka一 nsin(n+1)“.(4)口 =CO S“十I Sin以43m+isin k“),作和S。其中k=1,则有k2,32由复数相等的充要条二Z+22“+32”+nZ”,(1)n 贝叮s。=艺k(c o、坛+招in协) k=1比较(2)式与(4)式,一件即知式成立。式证明与式相仿:设Z= =eo骊+151协,W二e o sd+isind几=叉 k二1kc osk“+i k艺k.sink“(2)=l(其中d寺o)则
5、有ZWk=eo3(“+k d)+isin(“+k d)用Z乘(1)式两边,得Z一S。=22+225+324+(n一1)Zn+nZ刀干(1)一(3),得(k是 自然数)n 作和s。=叉zw广,=一W”(3)k= =l21-1一W,in卫d、 、 ,了 ,Q(i一z)s, 、=艺z、一二z“2 二_C0 8(“+n一12d12 k=1sin心dn12, . 1一Z今 O,故(i一Z)S。=一即“午Zm允Z(1一Zn)1一Z( lf l是整数)一一nZn+lsin、,了.d,n(d+n一1 一2十 d一2 n.二 S从而,S。=Z一(n+1)Zn+1+nZn十“又因(1一Z)“(1+Z)“=( 1一
6、C Os“一isin “)2(5)又因s。= =叉c os。+(k一i)dk=1、 性 .护产 a一2.C O S“12必一2=(2”nZ 一2isin、了声 “一2 一以 12二4s inZ3inie osn十i万,in“+( k二一i)d,(6)k=l户1.、 。一21983年第一期比较(5)式与(6)式的实部和虚部,即得(1。2式。在(2.2式中,令d=“,即得式。在(1.3式中视。为Za,即又得式即可得(1。5式。有很多三角恒等式的证明、三角式的化简或求值,都可由上述五组恒等式中直接推出。 .二“ .,证明:在式中,令“=二, 则有 s n百五千e s丁cos(n +1 )尤Zn+1艺
7、 k=1ksink兰= =n_、尤 二C堪二.艺艺n.,式中,令。二允Zn+1则有卫一12 +艺 k二1当n=4时,n冬.有c t g晋=2(si n二叉 k二1c os了丝二塑空 Zn+1五nZn.i一2一介Zn+1Zsin叮Zn+1食)=侧2+1;此结论之重要在于其和为常量(与n无关)允一,出一7SOC当n=6时,如n=3时,有介COS+ 7=2十了3n十。o,巨空二+1:72-奋十则有叉kc o s kk=1有c tg几=2(Si n否+51。晋若在“,式中令“ =等,粤二普,当一5时,就c os_全性十c o,74北7ke osk兰=55 2.6汀1 +“O sr a呀e s=一言,J
8、. 占5叹2 1 一一k有以下再举一例以说明上述恒等式的简单运用。二、求证:n 求证:艺co s;k些=_1Zn+12nco sk=1hlZn+1Zn.,.,二k=1.的中等数学 一一一-一-一一.-n k=1s i。kl-二Zn+1.-一(2。2)=c o。(-2(n一k)对Zn+1丝n,尸nk介l lr g丽不丁二“2 n+ 1COS. 式证明如下:将其代人(7)式,n一1得n_2+Ze os, .1一x+xZ一xs+xZ”=xZ”+1+lk=1X+1Ze o sZ“令XZ” 十+l=o的2“+i个根依次 为W。,W:,WZ,W:。.其巾,由1+。52“二n一1再令x=1,2(n一k)汀Z
9、n+1,得nZ忿cosk=0(n一k)泥Zn+11-w、=c os冬互华二.卜i,i。2起坦一二.艺n+1Zn+1k允 2Zc os“, 云西互 -(k=0,l,2,又, . W:。 _k二,Zn,且W。=一1.)c 。s卫哎丝二_ 垃皿二Zn+1即nk=1又, . 。,_巨_Zn+1O+18叉八=1,2,3,.,n)1扩0nn2 丝户一k )土I二Zn+1、.1./、卫.尸尤.叮=co。2二 -(Zk+1)(kk允Zn+1Zn+1Zk+1Zn+lk=1利用 同样的方法可证式,将即 可得出式。式中令。二3一允9自/1.|、Sln1s(Zk+l)对2石l2,二,n)。(Zk+1)汀 飞五干-I一
10、得介C O S-一7.c。卫竺c o s妙一1.78-n一二s l一( k=COS(Zk+1)才ZT j十1. .Wk二WZ。_k从而,W、+W:。_、=Ze 。,.J工18一一O令n=4可得、520。c os40“c os80k=l在老2.2式中令n=4,得3l 6故有WkoW:。xZn+l+1X+l(笼一wo)(火一wl)一X+1反口(x一w。_z)(x+1)(x一w。 ,:)咬x一w乞。)1一盆+xZ一x3+二。+xZnD一1忆.c o、一2介.c os3几999或sin2 0o,in4 0o在式中令n=5,CO息4对9sin80可得叫补叫了4忙11汀一1 1班gS奋L、 .产,了.、.、l|2 J1=n k.二O又2一Zxc os(Zk+1)二 Zn不1十tg又, . c o s(Zk+l)君Zn+1“召五。c 。:_ 望卫士里立四二翌坚土翌胜四Zn十1(作者单位:天津市解 枚南路中学)
