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1、2013 福建文科数学 第 1 页 共 11 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (福建卷福建卷) 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 福建，文 1)复数 z12i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：答案：C 解析：解析：在复平面内，z12i 对应点的坐标为(1，2)，故选 C. 2(2013 福建，文 2)设点 P(x，y)，则“x2 且
2、y1”是“点 P 在直线 l：xy10 上”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：答案：A 解析：点(2，1)在直线 l：xy10 上，而直线 l 上的点的坐标不一定为(2，1)，故“x2 且 y1”是“点 P 在直线 l 上”的充分而不必要条件 3(2013 福建，文 3)若集合 A1,2,3，B1,3,4，则 AB 的子集个数为( ) A2 B3 C4 D16 答案：答案：C 解析：解析：由题知 AB1,3，故它的子集个数为 224. 4(2013 福建，文 4)双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于( )A B C1 D1
3、 22 22答案：答案：B 解析：x2y21 的渐近线方程为 yx，顶点坐标为(1,0)，点(1,0)到 yx 的距离为.| 1|12 2225(2013 福建，文 5)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是( )答案：答案：A 解析：解析：由 f(0)0 可知函数图象经过原点 又 f(x)f(x)，所以函数图象关于 y 轴对称， 故选 A.6(2013 福建，文 6)若变量 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最大值和最小值分别为( )2, 1, 0,xy x y A4 和 3 B4 和 2 C3 和 2 D2 和 0 答案：答案：B 解析：解析：画出可行域如下图阴影部分所示2013 福建
4、文科数学 第 2 页 共 11 页画出直线 2xy0，并向可行域方向移动，当直线经过点(1,0)时，z 取最小值当直线经过点(2,0)时， z 取最大值 故 zmax2204，zmin2102. 7(2013 福建，文 7)若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( ) A0,2 B2,0 C2，) D(，2 答案：答案：D解析：解析：2x2y1，2 2x y2xy，即 2xy22.21 2 xy2. 8(2013 福建，文 8)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序如果输入某个正整数 n 后，输出的 S(10,20)，那么 n 的值为( )A3 B4 C5 D6 答案：答案：B 解析：解析：若
5、 n3，则输出 S7；若 n4，则输出 S15，符合题意故选 B.9(2013 福建，文 9)将函数 f(x)sin(2x)的图象向右平移 (0)个单位长度后得到函 222013 福建文科数学 第 3 页 共 11 页数 g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P，则 的值可以是( )30,2 A B C D5 35 6 2 6 答案：答案：B解析：解析：f(x)的图象经过点，30,2 sin .3 2又，. ,2 2 3f(x).sin 23x由题知 g(x)f(x)，sin 23x 又图象经过点，30,2 g(0).3sin232当时满足 g(0)，故选 B.5 63 210
6、(2013 福建，文 10)在四边形 ABCD 中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为( )ACuuu rBDuuu rA B C5 D1052 5 答案：答案：C解析：解析：41220，ACuuu rBDuuu r.ACuuu rBDuuu rS四边形 ABCD|.1 2ACuuu rBDuuu r2221124252 11(2013 福建，文 11)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： x123456 y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求$ybxa$得的直线方程为 ybxa，则以下结论正确的是( )Ab，a
7、 Bb，ab$ab$aCb，a Db，ab$ab$a 答案：答案：C解析：解析：，1234567 62x ，02 1 33413 66y 2013 福建文科数学 第 4 页 共 11 页，12215 7nii i ni ix ynxy b xnx $，$1 3aybx $b2，a2.20 2 1 b$a12(2013 福建，文 12)设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) AxR，f(x)f(x0) Bx0是 f(x)的极小值点 Cx0是f(x)的极小值点 Dx0是f(x)的极小值点 答案：答案：D 解析：由函数极大值的概念知 A 错误
8、；因为函数 f(x)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以x0 是 f(x)的极大值点B 选项错误；因为 f(x)的图象与f(x)的图象关于 x 轴对称，所以 x0 是f(x)的 极小值点故 C 选项错误；因为 f(x)的图象与f(x)的图象关于原点成中心对称，所以x0 是 f(x)的极小值点故 D 正确 第卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的 相应位置13(2013 福建，文 13)已知函数 f(x)则_.32,0, tan ,0,2xxxx 4ff答案：答案：2解析：解析：，f(1)2(1)32.tan144f
9、 4ff 14(2013 福建，文 14)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为 _答案：答案：1 3解析：解析：由 3a10，得 a.1 30a1，0a.1 3根据几何概型知所求概率为.1 13 1315(2013 福建，文 15)椭圆 ：(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y22221xy ab(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_3答案：答案：31解析：解析：由 y(xc)知直线的倾斜角为 60，3 MF1F260，MF2F130. F1MF290.2013 福建文科数学 第 5
10、页 共 11 页MF1c，MF2c.3 又 MF1MF22a，cc2a，即.323131e 16(2013 福建，文 16)设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 yf(x)满足： ()Tf(x)|xS；()对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f(x1)f(x2)， 那么称这两个集合“保序同构” 现给出以下 3 对集合： AN，BN*； Ax|1x3，Bx|8x10； Ax|0x1，BR. 其中， “保序同构”的集合对的序号是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案：答案： 解析：若 yx1 是从 A 到 B 的一个函数，且 xA，则满足()Bf(
11、x)|xA又 f(x)x1 是 单调递增的，所以也满足()；若 f(x)x时，满足()Bf(x)|xA，又 f(x)x是单调递增的，所以也满足()；9 27 29 27 2若(0x1)时，满足()Bf(x)|xA又在(0,1)上1tan 2yx 1tan 2f xx是单调递增的，所以也满足() 故填. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 17(2013 福建，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列an的公差 d1，前 n 项和为 Sn. (1)若 1，a1，a3成等比数列，求 a1； (2)若 S5a1a9，求 a1的取值范围 解：(1
12、)因为数列an的公差 d1，且 1，a1，a3成等比数列， 所以 a121(a12)，即 a12a120，解得 a11 或 a12. (2)因为数列an的公差 d1，且 S5a1a9， 所以 5a110a128a1，即 a123a1100，解得5a12. 18(2013 福建，文 18)(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥 PABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演ADuuu r算过程)； (2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC； (3
13、)求三棱锥 DPBC 的体积 解法一：(1)在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E，2013 福建文科数学 第 6 页 共 11 页由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AECD3， 在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依勾股定理得 BE3， 从而 AB6. 又由 PD平面 ABCD 得，PDAD，从而在 RtPDA 中，由 AD4，PAD60，得 PD.4 3 正视图如图所示：正视图 (2)取 PB 中点 N，连结 MN，CN.在PAB 中，M 是 PA 中点，MNAB，MNAB3.1 2 又 CDAB，CD3， MNCD，MNCD. 四边形 MNCD 为平行四边形 DMCN. 又 DM平面 PBC，CN平面 PBC， DM平面 PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，1 3又 SDBC6，PD，所以 VDPBC.4 38 3 解法二：(1)同解法一 (2)取 AB 的中点 E，连结 ME，DE.2013 福建文科数学 第 7 页 共 11 页在梯形 ABCD 中，BECD，且 BECD，
