好问题的蘑菇效应

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1、复习参考 数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半月) 5 1 好问题的蘑菇效应 李 玲 ( 安徽省宁国中学， 2 4 2 3 0 0 ) 著名数学家波利亚说过 ： “ 好问题如同某种蘑 菇， 有些相似， 它们大都成堆地生长 找到一个以后， 你应当在周围再找找 ， 很可能在附近就有几个 ” 受 此启发， 我发现 2 0 1 3 年高考福建省数学理科第 1 8 题就是一个很好 的例子 题目1 ( 2 0 1 3 年高考 福建省数学理科第 1 8题) 如 图 1 ， 在正方形 O A B C 中， 0为坐标原点 ， 点 A 的 坐标 为 ( 1 0 ， 0 ) ， 点 C 的坐 标为 (

2、0 ， 1 0 ) ， 分别将线段 O A与A B十等分， 分点分 别为 Al ， A2 ， ， A9 和 B 1 ， 图1 B 2 ， ， B 9 ， 连接 O B f ， 过点 A 作X轴的垂线与O B 交于点 P ( i EN ， 且 1 i 9 ) ( I)求证 ： 点 P ( i N ， 且 1 9 ) 都在 同 一条抛物线上， 并求出该抛物线 E的方程； ( )过点 C作直 线 与抛物线 E交于不 同的 两点M， N， 若O C M 与O C N 的面积比为 4 ： 1 ， 求直线 的方程 解( I)由题意 ， 得 A ( i ， 0 ) ， B ( 1 0 ， i ) ， i E

3、 N 且 l i 9 过点 A 且与 轴垂直的直线方程为X=i ， 直 线 O B 的方程为Y= z( i EN 且 1 9 ) 设 点 P i( z ， ) ， 则 ， 南 z ，得 x - ， 即 =1 0 y 所以点 ( i EN 且 1 i 9 ) 都在同一条抛物 线上， 该抛物线 E的方程为X =l O y ( ) 依题意， 直线 的斜率存在， 设直线 的 方程为Y=志 z+1 0 由 - x 2 -l O k x-1 0 0 =0 , 此时 =1 0 0 k +4 0 0 0 ， 直线 与抛物线E恒有两个不 同的交点M ， N 设 M ( x 1 ， Y 1 ) ， N( x 2

4、， 2 ) ， 贝 0 z 1 +X 2 =1 0 k ， X1 X2 一 1 0 0 因为 S ：4 S o ， 所 以I X1 I 4 f X 2 J 又 X1 X 2 0 ) ， 点 M， N 分别满足。 ： O A，一AN = A B ( = ， = ( R ) 过点 M 作z轴的垂线 与直线 O N交于点 P 求点 图2 P的轨迹E 的方程 ， 并判断轨迹 E是何种 曲线? 解由题意 ， 易求得 M ( 2 ， 0 ) ， N( 2 p， 2 p a) ， 则直线 z的方程为z=2 ， 直线 O N 的方程为Y= =【 设点 P( X， y ) ， 则 z= 2 ， = z( R)

5、， 消 去参数 ， 得 z =2 P Y 所以点 P的轨迹E的方程为X = 2 p y ， 由方程 可知轨迹 E是一条抛物线 二、 课本溯源 题 目1 不仅激发了我探究的欲望， 也使我联想 到了人教 A版 数学( 选修 2 1 ) 第 5 0页的B组第 4题 此题与题 目 1 所给的条件、 所涉及的图形是如 5 2 数学通讯 一 2 0 1 4年第6期 ( 下半月) 复习参考 此类似 ， 所要证明的结论也是类似的， 具有异曲同工 之妙 题 目 3 ( 人教 A 版 数学( 选修 21 ) 第 5 0页 B组第 4题 ) 如 图 3 ， 矩 形A BC D 中， I AB I =8 ， I B

6、C I = 6 ， E， F， G， H 分 别是 矩形 四条边 的中点 R， S， T是线 段 O F 的 四 等分 点 ， R ， S ， T 是 y I D G C R S H 。 F x A E 曰 图 3 线 段 C F 的 四等 分 点 ， 请 证 明 直 线 E R 与 G R 、 ES - G S “ E T 与G T 的 交 点L ， M， N都 在 椭 圆 彘+ =1 上 解由题意， 直线 E R的方程为Y=3 x一 3 ， 直 线 G R 的方程为 一 z十3 联立这两个方程， 解得 L( 3 2， 4 5 ) 同理， 解得 M( ， 了 9 )，N 9 6， 2 1 )

7、 经 验 证 ， 点 L ， M ， N 的 坐 标 都 适 合 方 程 薏 + 9 = 1 ， 所 以 点 L ， M ， N 都 在 椭 圆 磊+ 9 = 1 上 三、 纵向延伸 当一个问题解决时， 并不是问题的结束 ， 而应是 另一个问题的开始 要在原来问题的基础 不断提 出新的问题， 将原问题延伸或一般化 与题目1 类 似， 题目3 不也是在告诉我们椭圆的一种生成方式 吗?那么， 要想生成椭圆， 又该怎样去设置条件呢? 探究 结果 如下 题 目 4 如 图 4 ， 矩形 AB C D 中，I AB I= 2 a ： I BC J =2 b ， E， F， G， H 分 别是 矩 形 四

8、条 边 的 中点 M ， N 分别是直线 OF与直 线 C F上的动点 ( O 点是矩 形的中心) ， 且满足O = + + ( ， = C F ， R， 直 线 E M 与直线 G N 的交 点 y I D G C 0 M F A E 曰 图 4 为P 求出动点 P的轨迹E 的方程， 并说明轨迹 E 是何 曲线? 解由题意 ： M( ， 0 ) ， N( ， b一2 b ) 若 =0， 则点 P( 0 ， b ) 若 0 ， 则直线 E M 的方程为Y十b = ， 直线 G N 的方程为 b= 设点 P( x， ) ， 则 +b b z， Y 一 6 z ， 又因为 0， 所 以 b， 消去

9、参数 ， 得 Y 一b X2即 + 1( 6 ) 由可知 ： 点 P的轨迹E 的方程为 + =L 2 1 ( 一b ) ， 由方程可知： 若 n=b ， 则轨迹 E是去 掉一个点的圆； 若 皖 b ， 则轨迹 E就是去掉一个顶 点的椭圆 四、 横向拓展 探究到此， 心有窃喜， 但意犹未尽 又不禁去想： 能否把条件再改变一下， 使生成的轨迹为双曲线呢? 题 目 5 如图 5 ， 矩形 A B C D中，I A B l= 2 a， I B C l =2 b， E， F， G， H 分 别是矩 形 四条 边 的 中点 M ， N 分别 是 直线 OH 与 直线 C F上的动点( 0点是 矩形 的 中

10、) ， 且 满足 。 = l G C F x E 日 萌 ， = ， R， 图5 直线 E M 与直线 G N的交点为P 求出动点 P的轨 迹 E方程 ， 并说 明轨迹 E是何曲线? 解由题意 ： M( 一 ， 0 ) ， N( 口， b一2 b ) 若 =0 ， 则点 v( o ， b ) 若 0 ， 则直线 E M 的方程为 Y+b= _ = = ， 直线 G N 的方程为yb 设点 P( z， ) ， 则 Y+b z， Yb= ，又因为 0 ， 所 以 b， 消去参数 ， 得 一b2= b Z ，即 一 1( 6 ) 2 2 由可知： 点 P的轨迹E的方程为 一 D 口 =1( 一 b

11、) ， 由方程可知轨迹 E是去掉一个顶点 的双曲线 当得出该结论时， 我感到不甚完美， 心有未甘 又想： 如果能得到焦点在 z轴上的双曲线就好了 那么该如何设置条件呢?经过多次尝试探究， 终于 如愿以偿 复习参考 数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半月) 5 3 题 目 6 如 图 6 ， 矩 形 AB C D 中， l AB I =2 a， I B Cl = 2 b ， E， F， G， H 分 别是 矩形 四条 边 的 中 点 M ， N 分别是直线 OG 与直线 B E 上 的动点 ( O 点是矩 形 的 中心 ) ， 且 满 - I D G C P 0 F x A E N

12、B 足 = 。 百 = 图6 赢 ， ER， 直线 H M 与直线N F的交点为P 求出 动点 P的轨迹E的方程， 并说明轨迹 E是何曲线? 解由题 意： M( 0 ， 6 ) ， N( 口一 ， 一b ) 若 =0 ， 则点 P( a， 0 ) 若 0 ， 则 直 线H M的 方 程 为Y = -? - ( + 口 ) ， 直线 NF的方程为Y =o ( z一口 ) 设 点 P ( x ， )， ) ， 则 = 警 ( z + 口 ) ， = 老 ( 一 口 ) ， 又因为 0 ， 所 以 z ， 消去参 数 ， 得 Y b z ( X2 -a 2 ) ， 即 一 1( z 口 ) 由可知

13、： 点 P 的轨迹E的方程为 一y，2， _ = 1( z 一a ) ， 由方程可知轨迹 E是去掉一个顶点的 双血线 至此， 从一道高考题出发， 运用类比方法找到了 圆锥曲线中共同的性质 ， 如 同找到了更多的“ 蘑菇 ” ， 这也是常说 的举一反三 参考文献 ： 1 苟云德 ， 苏清军“ 折折叠叠” 话探究 J 数学教学 ， 2 0 0 6 ( 2 ) ( 收稿 日期 ： 2 0 1 4一O 1 0 9 ) 改编一道高考题的过程展示 苏凡文 ( 山东省宁阳一中， 2 7 1 4 0 0 ) 在工作之余仔细咀嚼 2 0 1 3年山东省高考数学 压轴题， 总是感觉味道绵长， 余趣多多 笔者平时喜

14、 欢改编数学题 目， 下面给各位同仁展示一下改编山 东省压轴题的过程， 以图共勉 一 、试题分析 2 2 题 1 椭圆 C： + =1( n o ) 的左、 右 n一 0。 焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 离心率为 ，过 F1 且垂直于 z 轴的直线被椭圆c截得的线段长为 1 ( I ) 求椭圆 C的方程； ( ) 点 P是椭圆 C上除长轴端点外的任一 点， 连接 P F 1 ， P F 2 ， 设 F1 P F 2 的角平分线 P M 交 C的长轴于点M( “ z ， 0 ) ， 求 m 的取值范围； ( ) 在( ) 的条件下， 过点 P作斜率为k的直 线 ， 使得 与椭圆C有且仅有一个公共点， 设直线 1 P F 1 ， P F 2 的 斜 率 分 别 为k 1 ， k 2 ， 若是 0 ， 试 证明 焘 十 为定值， 并求出这个定值 2 本题为 2 0 1 3 年山东省高考数学卷压轴题， 继承 了山东省一贯以圆锥曲线作为压轴题的传统 本题 主要从三个层面进行了考察 ： ( 一) 知识层面 ， 考察 了 求椭圆轨迹方程、 焦点三角形的顶角平分线的性质、 直线与椭圆的位置关系、 焦半径所在直线斜率之间 的定值关系、 椭圆的光学性质 、 导数等知识 ； ( 二) 能 力层面， 考察了思维、 运算、 分析问题、 解决问