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1、1不定积分的例题分析解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量，而第二换元积分法重点要)(xu求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成，这种转化应是朝有利uddu于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，为无理函数时，常可用换元积分法。)(xf)(xf应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是 “积不出来”的，就是说这些函数的原函数不
2、能用初等函数来表示，例如；（其中）等。dxxxsindxex2dxxln1xkdx22sin110 k这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第 7 章我们将看到这类 积分的无限形式的表示。 （一）关于原函数与不定积分概念的几点说明 （1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数，若存在函数，使得该区间上每一点处都有，则称是在该区间上)(xf)(xFx)()(xfxF)(xF)(xf的原函数，而表达式称为的不定积分。CCxF()(为任意常数 )(xf（2）的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因
3、此求)(xf的不定积分时，只需求出的一个原函数，再加上一个任意常数即可，即)(xfdxxf)()(xf)(xFC。CxFdxxf)()(（3）原函数与不定积分是个体与全体的关系，只是的某个原函数，而)(xFdxxf)()(xF)(xf是的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数后，即才能成为dxxf)()(xfCCxF)(的不定积分，例如都是的原函数，但都不是的不定积分，只有)(xf3,21, 1222xxxx2x2才是的不定积分（其中是任意常数） 。Cx 2x2C（4）的不定积分中隐含着积分常数，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要)(xfdxxf)(C加上一个任意常数。C（5）原函数存
4、在的条件：如果函数是某区间上连续，则在此区间上的原函数一定存在，)(xf)(xf2由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是， 有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分dxexdxdxxxx2,ln,sin都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求 不定积分的方法。（1）第一换元积分法（凑微分法）：令)(xuu 若已知，则有CxFdxxf)()(CxFdxxxf)()()(其中是可微函数，是任意常数。
5、)(xC应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式） 。（1）、abaxdabxddx)(1)()0，ab为常数具体应用为)()(1)(baxdbaxadxbaxmm= CbaxaCmbax amln11)(11) 1() 1(mm（2） )(111bxdadxxaa)() 1(11baxdaaa、均为常数，且。例如：a(ba) 1, 0aaxddxxxxddxxdxxdx21),(32,212（3）为常数，)ln(1ln1bxadaxddxxba,()0a（4）且；, 0(ln)(,aaaddxadedxex xxx) 1a（5）);(sincos),(cossinxdxdxxdxdx
6、3（6）)cot(csc),(tansec22xdxdxxdxdx（7）)(arctan112xddxx（8）)(arcsin 112xddx x 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求dxxxf211)(arctan时，应将凑成；求dxxdx21xdarctandxxxarcf211)cot(时，应将凑成；而求时，就不能照搬上述两种凑法，应将dxx211 xdarccotdxxx212211 x凑成，即。xdx22dx)1 (222xddxxdx（2）第二换元法积分法：令，常用于被积函数含或等形式。)(tx22xa 22ax 常见的元理函数积分所采用的换元式如表 5-1
7、 所示： 表 5-1代换名称被积函数含有换元式三 角 代 换22xa 22xa 22ax )2,2(,sinttax)2,2(,tanttax)2, 0(,secttax无 理 代 换nbaxnx12111 )( ,)(nnbaxbax即, tbaxn)(1btaxn即,1txtx1为的最小公倍数),(baxtnn21,nn（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上 仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。 （三）关于积分形式不变性 在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：如果，那么有，其中是的可微函数。这个定CxFdxxf)()(Cu
8、Fduuf)()()(xux理说明： （1）积分变量无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变x4性。 （2）根据这个定理，基本积分表中的既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数） ，因x 此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式Cxdxxln1现在就可以看作是 Cdln1其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数能够写成的形式，且已知dxxf)(dxxxg)()(，则有CuFduug)()(dxxxgdxxf)()()()()(xdxgCxF)(同学们在应用积分不变性
9、时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。 （四）分部积分法设是可微函数，且或有原函数，则有分部积分公式：)(),(xxuu)()(xxu)()(xxudxxuxxxudxxxu)()()()()()(或 duuud当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成或的形式，这一步类似于凑微分，然后应用dxuud分部积分公式，或，再计算，即得到积分结果。显然，用分部积分法计duudxuudxu算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做和的原则是：根据容易求出；要比原积udxu分容易计算，实际中总结出一些
10、常见的适用分部积分法求解的积分类型及其和的选择规律，dxuu一归纳如表 5-2。 表 5-2分类不定积分类型和的选择uIxdxxpnsin)(xdxxpncos)(xxpunsin),(xxpuncos),(5dxexpx n)(x nexpu),(IIxdxxpnln)(xdxxpnarcsin)(xdxxpnarccos)(xdxxpnarctan)()(,lnxpxun)(,arcsinxpxun)(,arccosxpxun)(,arctanxpxunIIIxdxexsinxdxexcos或xexu,sinxeuxsin,或xexu,cosxeuxcos,说明（1）表 5-2 中，表示次
11、多项式。)(xpxn（2）表 5-2 中的等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数xexxxarcsin,cos,sin类型，例，表示对所有正弦函数均适用，而表示对所有均适用，其它几个函数xsin)sin(bax xebaxe也如此。（3）III 类积分中，也可选择（或） ，无论怎么样选择，都得到递推循环形式，xeuxsin,xcos再通过移项、整理才能得到积分结果。 （五）有理函数的积分 有理函数可分为如下三种类型： （1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。 （2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最 简分式的
12、代数和：kkqpxxBAx qpxxBAx axA axA )(,)(,22 其中为常数，。kqp,1, 042kqp因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 （3）有理假分式（分子次数不低于分母次数） ；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理 真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2） 综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的， 后者可通过凑微分法求出的结果。二、例题分析例 1 为下列各题选择正确答案：（1） （ ）是函数的原函数xxf21)(6A BxxF2ln)(221)(xxFC D)2ln()(xxFxxF
13、3ln21)(（2）若满足，则（ ）)(xfCxdxxf2sin)()(xfA Bx2sin4x2cos2 C Dx2sin4x2cos2 （3）下列等式中（ ）是正确的A)()(xfdxxfBCefdxefxx)()(CCxfdxxf)()(DCxfdxxf x)1 (21)1 (22（4）若，则（ ）CxFdxxf)()(dxxxf)(cossinA BCxF)(cosCxF)(cosC DCxf)(sinCxF)(sin（5）下列函数中， （ ）不是的原函数。x2sinA Bx2cos21x2cosC Dx2sinx2cos解（1）根据原函数的概念，验证所给函数是否满足。由于)(xFxx
14、F21)(A 中xxxx211 22)2(lnB 中xxx21 41)21(32C 中xxx21 21)2ln(D 中xxx21 33 21)3ln21(故正确选项为 D。 （2）根据不定积分的性质可知 xCxdxxxf2cos2)2(sin)()(xxxf2sin4)2cos2()(7于是故正确选择为C （3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知 Cufduuf)()(其中是变量或可微函数，据此可知：uA 中应为（缺）Cxfdxxf)()(CB 中应为（缺）Cefdxeefxxx)()(xeC 中应为（不应没有）Cxfdxxxf)(2)(x2D 中应为)1 ()1 (21)1 (222xdxfdxxf xCxf)1 (212正确选项应为 D（4）设则，于是,cosxu xdxdusin CxFCuFduu
