《初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同一法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同一法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初 中数学竞赛精品标准教程及练习（33）同一法一、内容提要一、内容提要1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等 效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆 命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省 （真命题） 逆命题：中国的一个省是福建 （假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京 （真命题） 逆命题：北京是中国的首都 （真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国
2、只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又 如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。 （真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。 （真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个 命题是等效的。 3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则， 则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 二、例题二、例题 例 1.求证三角形的三条中线相交于一点 已知：ABC 中，AD，BE，CF 都是中线 求证：AD，BE，C
3、F 相交于同一点 分析：在证明 AD 和 BE 相交于点 G 之后，本应再证明 CF 经过点 G，这要证明三点共线， 直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长 CG 交 AB 于 F，证明 CF，就是第三条中 线（即证明 AF，F，B）证明：DABEBA180o AD 和 BE 相交，设交点为 G 连结并延长 CG 交 AB 于 F， 连结 DE 交 CF，于 M DEAB FAME FBMD FCCM ， 即FAFB MEMDFBME FAMD FGMG ， 即FBFA MEMDFAFB FBFA ， AF，BF，AF，是 BC 边上的中线，BC 边上的中线只有一条， AF，和 AD 是同一
4、条中线F,GABCDEFAD，BE，CF 相交于一点 G。 例 2.已知：ABC 中，D 在 BC 上，AB2AC2BD2DC2 求证：AD 是ABC 的高 分析：从题设 AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为 BC 边上的高是唯一的，所 以拟用同一法，先作出 AEBC，证明在题设的条件下 AE 就是 AD。 证明：作 AEBC 交 BC 于 E A 根据勾股定理 AB2AC2（AE2BE2）（AE2EC2） BE2EC2 AB2AC2BD2DC2 B E D C BD2DC2 BE2EC2 （BDDC） （BDDC）（BEEC） （BEEC） BDDCBEEC BDDCBEEC ：2BD
5、2BE 即点 D 和点 E 重合，即 AD 是ABC 的高 例 3 如图已知：四边形 ABCD 中，ABDADB15o CBD45o，CDB30o 求证：ABC 是等边三角形 证明：在 BC 或延长线上取点 E，使 BEAB 连结 AE，DE，则ABE 是等边三角形AEABAD，EAD150o60o90o，ADE45oADC45o，且 DE，DC 在 DA 的同一侧，DE 和 DC 重合，它们与 BC 边的交点 E，C 也重合 ABC 是等边三角形例 4.求证：3352521分析：直接证法，一般是把左边写成3333)5252(再化简为 1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个
6、数352，352，它们积是1，则它们的和是 1那么逆命题是：若 u+v=1,且 uv=1，则 u=352,v=352 证明：设 u+v=1,且 uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材） 得 u,v 是方程 x2x10 的两个根 x=251,即 u,v 分别等于251，251而 u3=（251）325， v3=（251）325u=352,v=35245301515A BDCE即3352521例 5.已知：ACD 是圆的割线，点 B 在圆上，且 AB2ACAD求证：AB 是圆的切线 证明：过点 B 作圆的切线，交 DC 于 A1， 则CBA1D 由已知 AB2ACAD，则ABACACAD，AA
7、ACBABD CBAD， CBA1CBA BA 和 BA1重合，它们与 DC 的交点是同一个点 即 AB 是圆的切线。 例 6.以ABC 的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是 D，E，F，那么过 D，E，F 的圆是ABC 的内切圆。分析：用同一法证明，作出ABC 的内切圆，再证明三个切点和 D，E，F 重合证明：作ABC 的内切圆和 AB，BC，CA 分别切于 D，E，F， 根据 切线长定理，得AD，AF，2abc，BE，BD，2bca，CF，CE，2cba设A,B，C 半径长分别为 x,y,zbxzazycyx,解得，x=2abc,y=2bca,z=2cbaAD，AD，BE，BE，
8、CF，CF 即 D，与 D， E，与 E ， F，与 F 重合。 ABC 的内切圆和各边切于 D，E，F 即过 D，E，F 的圆是ABC 的内切圆。 三、练习三、练习 33 1.用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底2.已知 E 是正方形 ABCD 内的一点，EABEBA15o 求证ECD 是等边三角形3.已知ABC 中，ABAC，A36o，在 AC 上取点 D，使 ADBC求证 BD 是ABC 的平分线 4.如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰 中点5.ABC 中， CRt，ACBC，点 D 在 AC 上，且 CDABBCF F
9、A AC CB BD DE El lB BA A1 1D DC CA A求证 BD 平分ABC 6.正方形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，BC 的中点，DEAM 于 E，求证点 N 在 DE 的 延长线上 7.已知：四边形 ABCD 中，E，F 和 GH 分别三等分 AB 和 CD， M 和 N 分别是 BC，AD 中点， N D 求证： A MN 平分 EH 和 FG E H MN 被 EH，FG 三等分 F G B M C 8.已知：矩形 ABCD 中，AB2BC，点 E 在 CD 上，且CBE15o 求证：AEAB9.已知：AD 是四边形 ABCD 外接圆 O 的直径，ABC120
10、oACB45o 点 P 在 CB 的延长线上，且 PB2BC求证：PA 是O 的切线 10.已知：H 是ABC 的垂心（三条高的交点） ，过 H，B，C 三点作O，延长ABC 的 中线 AM 交O 于 D求证：AMMD A OO D C B P 练习练习 33 参考答案：参考答案： 1.过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2.以 CD 为一边向形内作等边E1CD，证E1ABE1BA15o3.作ABC 的平分线，证它与 BD 重合 4.取另一腰的中点， 5.同 3，作ABC 的平分线，证它与 BD 重合 6.延长 DE 交 BC 于 N，证明 N，是 BC 的中点 7.取 EH 的中点 P，FG 的中点 Q，则 PFMG 和 QHNE 都是平行四边形，PM 过 FG 中jMHABCD点，QN 过 EH 中点，M，Q，P，N 是同一直线 8.作等腰三角形 ABE1交 CD 于 E1，证明 E1和 E 是同一点。 9.过点 A 作O 的切线交 CB 于 P1，证明这 P1B2BC设 AD2R，可得 AC3R，AB2R，P1AB这 P1CA，APBP11CPAP113210. 延长 AM 到 D，使 MD，AM，证明点 D，在圆上。即 B，H，C，D，四点共圆。
