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1、重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页1专题八：均值不等式和不等式的证明选讲专题八：均值不等式和不等式的证明选讲 一、基础梳理一、基础梳理 1 1常用的基本不等式和重要的不等式：常用的基本不等式和重要的不等式：（1） 当且仅当取“”号； （2）；0, 0,2aaRa0a abbaRba2,22则（3），则。, ,a b cR222abcabbcca2均值不等式：均值不等式：两个正数的均值不等式：； 三个正数的均值不等式：；abba 23 3abccba个正数的均值不等式：。nnnnaaanaaaLL21213四种均值的关系：四种均值的关系
2、：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之ba、 间的关系是：。2211222babaabba 小结：小结：“算数平均数算数平均数几何平均数几何平均数”的多种表达形式：的多种表达形式： 整式形式整式形式根式形式根式形式分式形式分式形式 倒数形式倒数形式2222 ,()2abab a bRabab2 ( ,)ababa bR12(0)aaa12(0)aaa 33333 , ,()3abcabc a b cRabcabc3 3 ( , ,)abcabca b cR2( ,ba ab a b同号）2( ,ba ab a b 异号）11()()4( ,)111()()9( , ,)a
3、ba bRababcabc a b cR4.4.均值不等式求最值：均值不等式求最值：（1）如果（定值） ，由_，当时，有,x yRxyPxyxy _；（2）如果（定值） ，由_，当时，有,x yRxySxyxy _； 注：上述方法对三个正数也成立。 利用均值不等式求最值必须注意：利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等” 。三者缺一不可！ 5 5不等式的证明方法：不等式的证明方法：（1）比较法）比较法：作差比较：；作商比较：。BABA01,0ABABB作差（商）比较的步骤： 作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商） ； 变形：对差进行因式分解或配方成几个数
4、（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页2约分等） ； 判断差的符号（商与 1 的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与 1 的大 小） 。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：）综合法：由因导果。 （3）分析法：）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证 “分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 “分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻 找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
5、。 （4）反证法：）反证法：正难则反。 （5）放缩法）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；aa12nnn ) 1(将分子或分母放大（或缩小） ； 利用基本不等式，如：；2lg3lg5lg3 lg5()lg 15lg 16lg422) 1() 1(nnnn利用常用结论：）；kkkkk21111） ； （程度大）kkkkk1 11 ) 1(112111 ) 1(112kkkkk） 。 （程度小）)11 11(21 ) 1)(1(1 11122kkkkkk） （程度更小）221111111()2()111112121()()4222
6、2kkkkkkkk）真分式放缩：真分式放缩：；假分式放缩：假分式放缩：)0, 0(mabmbma ba(0,0)aamabmbbm（6）换元法：）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换 元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；222ayxsin,cosayax已知，可设；122 yxcos ,sin (01)xryrr已知，可设；12222 by axsin,cosbyax已知，可设。12222 by axtan,secbyax（7）构造法：）构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数
7、学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页3证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明 不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟 悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。 二、能力巩固二、能力巩固 考点一：均值不等式与最值考点一：均值不等式与最值1.已知，则的最小值_。, ,x y zR230xyz2y xz2设，最大值是（ ）0,0,1xyxyyx A. 1 B. C. D. 222 233.已知，且，若，则的最大值为_。0,0ab2ab222SababS4.已知都在区间内，且，则函数2
8、299 44 yxu的最小值是（ , x y( 2,2)1xy ）A58B1124C712D5125.若是与的等比中项，则的最大值为（ ）a2b2b2 |ab abA. B. 1 C. 42D.2226设是定义M,2 3,30 ,ABCAB ACBACu u u r u u u r内一点且其中分别是的面积，()( , , ),f Mm n pmnp、,MBCMCAMAB1()( , , ),2f Mx y若的最小值是_。14 xy则重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页47若 a,b 均为正实数，且恒成立，则 m 的最小值是_。abam
9、b变式：（1）若不等式对任意正实数、都成立，则的最大值是（ 222 2babaab）A1B2C3D5（2）若对于任意的实数且，不等式恒成立，则实数 的最大值1a 1b 22(2)abt abt 是 _。8. 设都是整数，且满足，则的最大可能值为（ ）, x yyxxy2222yx A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函数的值域为（ ） xxxf42A. B. C. D. 4 , 20,2 54,2 52,2 5练习：使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（ ）A63 B3 C63 D6重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.
10、6.5第 页510若实数满足，则的最小值为, a b410(1)ababa (1)(2)ab _。11已知, ,a b cR且8(342 )43aabcbc，则的最小值为（ ）32abcA. 3 2B. 2 2 C. 2 3 D. 4 3练习：若且，则的最小值为, ,0a b c ()42 3a abcbc2abc _。12.已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2恒成立，则的取值范围_。a13.若实数满足,则的最大值, 222coscoscos22sinsinsin2 是（ ）A. B. C. D. 1 42 43 46 4重庆大东方（烛光假日）学校高一（下
11、）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页614已知实数不全为零，设正数满足，令的最大值为123,a a a, x y2xy1223 222 123xa aya a aaa ，则的最小值为_。MM考点二：数列与不等式的证明选讲考点二：数列与不等式的证明选讲1已知数列的前项和满足。nannS2( 1) ,1n nnSan （1）写出数列的前三项；na123,a a a（2）求数列的通项公式；na（3）证明：对任意的整数，有。4m 451117.8maaa2设各项为正的数列满足：令 na1 1 1(1)1,1,nnnnnanaaaa11,ba2 122 2311nbn aaa2
12、11(2).nna()求;na()求证：12111(1)(1)(1)4(1).nnbbb重庆大东方（烛光假日）学校高一（下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页73.在数列中，已知，。na12a 112nnnnaaaanN（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；11nana（2）求证：，。1(1)3nii ia anN4.已知1 12211,4,4,n nnnn naaaaaa bnNa 。（）求123,b b b的值； （）设1,nnnncb bS为数列 nc的前n项和，求证：17nSn；（）求证：2211 64 17nnnbbg。重庆大东方（烛光假日）学校高一（
13、下）周末数学（清北班）资料（八） （学生卷）10.6.5第 页85已知数列中，a1=1，且满足递推关系na).(132*21Nnamaaannn n（1）当 m=1 时，求数列的通项na;na（2）当时，数列满足不等式恒成立，求 m 的取值范围；*Nnnannaa1（3）在时，证明13m.21111 11 1121n naaaL6古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在柱上，现要将*()n nNA套在柱上的盘换到柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上AC 面，假定有三根柱子可供使用., ,A B C现用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：nanAC(1)写出 并求出123,a a a;na(2)记 求和1,nnba*1( ,);nij ij nSbbi jN (其中表示所有的积的和
