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1、二元一次方程组解应用题 众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而 列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那 么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基 本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：和、差、倍、分问题，即两 数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数倍数增（或减）数；行程类问题， 即路程=速度时间；工程问题，即工作量=工作效率工作时间；浓度问题，即溶质 质量溶液质量浓度；分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系； 等积问题，即变形前后的质量（或体积
2、）不变；数字问题，即有若个位上数字为 a， 十位上的数字为 b，百位上的数字为 c，则这三位数可表示为 100c+10b+a，等等；经济 问题，即利息本金利率期数；本息和本金+利息本金+本金利率期数；税后 利息本金利率期数（1利息税率） ；商品的利润商品的售价商品的进价；商品的利润率100.等等.商品进价商品的利润下面以列二元一次方程组解 2006 年中考应用题为例说明如下： 一、古代数学问题 例 1（河北省） 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程” 一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便， 我们把它改为横排，如图 1，图 2.图中各
3、行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的 系数与相应的常数项.把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为（ ）A3219 423.xy xy ，A.B. C.D.211 4327xy xy ，211 4322xy xy ，3219 423xy xy ，26 4327xy xy ，分析 抓住由图 1 所列出来的方程是仔细分析系数 3、2、19 对应的图3219 423.xy xy ，1 中的第一行和系数 1、4、23 对应的图 2 中的第二行的意义即可解答问题. 解 由图 1 所列出方程的意义，可知在图 2 中第一行表示的数
4、分别为 2、1、11，第二行表示的数分别为 4、3、27.于是可以列出方程组故应选 A.211 4327.xy xy ，说明 求解本题一定要在图 1 的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数，才能准确 地解答问题. 二、学校学生就餐问题 例 2（济南市）某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐 厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名图 1图 2学生就餐. （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若 7 个大餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由. 分析
5、（1）仔细分析题意，题目中提供了两个等量关系，即一是开放 1 个大餐厅、2 个 小餐厅，可供 1680 名学生就餐；二是开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就 餐.这样若设 1 个大餐厅可供 x 名学生就餐，1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，就可以列出二 元一次方程组求解了.（2）有了第（1）小问，只要算一下 5 个大餐厅和 2 个小餐厅共容纳 的人数，再与 5300 比较即可. 解（1）设 1 个大餐厅可供 x 名学生就餐，1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，则根据题意，得 21680 22280.xy xy ，解这个方程组，得960360.xy ，答 1 个大餐厅可供 9
6、60 名学生就餐，1 个小餐厅可供 360 名学生就餐. （2）因为 9605+360255205300，所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐. 说明 本题中的两个等量关系是比较明显的，只是在处理第（2）小问时要借助于第 （1）小问的结果，通过适当的计算，才能加以判断. 三、情景对话问题 例 3（娄底市）小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包你能根 据他们的对话内容（如图 3） ，求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？分析 根据对话知道两个等量关系，一是随身听和书包的单价之和是 452 元，二是随 身听的单价比书包的单价的 4 倍少 8 元，这样
7、若设书包的单价为 x 元，随身听的单价为 y 元，就可以根据题意列出一元一次方程组求解. 解 设他们看中的书包的单价为 x 元，随身听的单价为 y 元.则根据题意，得解得452, 48.xy yx 92,360.xy 答 他们看中的随身听和书包单价各是 360 元和 92 元. 四、奥运“福娃”和徽章 例 4（海南省）某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥 运商品，根据如图 4 提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？我知道随身听的单价 比书包的单价的 4 倍 少 8 元.我知道随身听和书 包的单价之和是 452 元.图 3分析 通过观察分析图
8、2 所提供的信息可以知道两个等量关系：一是 1 盒“福娃”和 2 枚徽章共计价格是 145 元，二是 2 盒“福娃”和 3 枚徽章共计价格是 280 元，这样根据 题意即可列出二元一次方程组求解. 解 设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 x 元和 y 元.则根据题意，得2145,23280.xyxy 解这个方程组，得12510.xy 答 一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 125 元和 10 元. 说明 本来情景对话型的应用题已经让同学们感兴趣了，加之又赋予时代气息的奥运 “福娃”和徽章，这样可以大大激发和提高同学们的解题能力.五、表格信息 例 5（乐山市）经营户小熊在蔬菜批发市场上
9、了解到以下信息内容：蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子批发价(元/公斤)41.21.61.1零售价(元/公斤)51.42.01.3他共用 116 元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共 44 公斤到菜市场去卖，当天卖完. 请你计算出小熊能赚多少钱？分析 要求小熊用 116 元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共 44 公斤到菜市场去卖能 赚多少钱，就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤，由表中提供的信息红辣椒和西红柿 的价格分别是 4 元/公斤和 1.6 元/公斤，而红辣椒和西红柿共 44 公斤，这样即可根据题意 即可列出二元一次方程组求解. 解 设小熊在市场上批发了红辣椒 x 公斤，西红柿 y 公斤.则根据
10、题意，得44 41.6116xy xy 解这个方程组，得 x19，y25.252+19511629（元）.答 他卖完这些西红柿和红辣椒能赚 29 元. 说明 当一个问题直接求解有困难时，不妨换一种思维，间接求解.本题中通过先分别 求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解.六、开放型问题 例 6（吉林省）如图 5，在 33 的方格内，填写了一些代数式和数. （1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出 x，y 的值；共计 145 元共计 280 元 图 4（2）把满足（1）的其它 6 个数填入图（2）中的方格内.分析 依题意可知图（1）中有两个等式：2x+3+22+(3)+y，
11、2x+3+22x+y+4y.由 此可以列出二元一次方程组求解.解（1）由已知条件可得：解得 2343 45xy yy ， ，11xy ，（2）由（1）可得如图 6 所示的表.说明 本题列方程组时有不同的列法，具有一定开放性，虽然所列的方程组可能不同， 但结果仍然是一的. 练习题： 1， （益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买 奖品，下面是李小波与售货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有 100 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本. 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再
12、见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 2， （湘西自治州）在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户 扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了 800 亩，其中烟叶种植面积增加了，蔬菜种植面积增加了，从而使20%30% 该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了 4200 亩问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少 亩？ 参考答案：1，设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为 x 亩，y 亩，根据题意有：解得答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是 2200 亩，420080020%30%800xyxy gg2200 1200x y 1200 亩.2，设钢笔每支为 x 元，笔记本每本 y 元，据题意得解方程组得 510015102 yxyx答：钢笔每支 5 元，笔记本每本 3 元. 35 yx234y23（1）（2） 图 532xy3233251014图 6
