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1、1abcd？bcadB焦点专题焦点专题 8 数列求和与不等式的解法、证明数列求和与不等式的解法、证明 【基础盘点】 一、数列求和的常用方法 1、公式求和法：求得与或与后，代入等差数列或等比数列的前项公式求解.1ad1aqn如在等比数列中，则 ；na24a 2q nS 2、观察规律法：当所给具有较强的规律性或以图形式出现时，可考虑此法.如已知nS，则 ；( 1)nna nS 3、倒序求和法：在数列中，出现为定值时，可考虑此na12132,nnnaa aaaaL法.如数列中，则 ；na121321 2nnnaaaaaanS 4、裂项相消法：出现或时可用此法，如1 (1)nan n1 1nann 1
2、1 1 324nS ， ；1 (2)n nL111 31532121nSnn L5、错位相减法：在数列中，出现，其中为等差数列，为等比数nannnab cg nb nc列，可用此法.如 ；231 2223 22nnSn L二、求解不等式的常用方法 1、解一元二次不等式之公式法：先用一元二次方程的求根公式解得，21,24 2bbacxa 再结合二次函数的图象可写出(或或 或2(0)yaxbxc a20axbxc00)的解.如不等式的解集为 ；0210xx 2、解一元二次不等式之十字相乘法：将乘法公式2()()()axb cxdacxadbc xbd逆过来写有，故只需将中的2()()()acxad
3、bc xbdaxb cxd2AxBxCA、C 分别写成形式，再检查是,Aac Cbdadbc 否等于，即可，为了B2AxBxC()()axb cxd把这个过程直观化，常将该过程写为如下的“十字相乘”形式， “十字相乘法”由此而得名.如不等式的解集为 ；22320xx3、解一般不等式之等价变形法：解不等式的过程就是将不等式等价变形为( )0f x ?x 或的过程，其中的变形需运用不等式的性质：加、减、乘、除、平方、开方、常数?x 指数化、常数对数化等.如不等式的解集为 ；ln2x 三、证明不等式的常用方法21、作差(商)法：(或).如比较与的大小；0ABAB(0)1AAB BB3x2x2、配方法
4、：将配方后，可以判断与 0 的大小，从而达到判断 A 与 B 的大小ABAB的目的.如比较与的大小；21x x3、综合法：收集、整理已知条件与熟悉公式、定理，得到所求证的不等式的一种方法，也可简记为“条件结论”的一种证明模式.如证明；222abcabbcac4、分析法：从结论出发，一边等价变形，一边收集所需的已知条件，一直到转化出一个显然成立的结论，可简记为“结论条件”的一种证明模式.如 3 的不等式的证明；5、构造函数法：通过等价变形后构造函数，运用函数的单调性求其最大(小)值达到证明不等式的一种方法.如当时，证明.0x ln xx【例题精选】 焦点 1：公式求和法、观察规律法、倒序求和法
5、【例 1】1、设是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，,则nanSn241a a 37S 5S 【题情捉摸】由得= (用表示)，然后代入得 ， 241a a 1aq37S 1a q ， 从而得的值.5S2、已知数列 2008,2009, 1,2008,2009,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它 的前后两项之和,则这个数列的前 2011 项之和 S2011等于 【题情捉摸】多写几项，得该数列为 ， 可知它是周期为 的周期函数，从而得的值.2011S焦点 2：裂项相消法、错位相减法【例 2】1、设等差数列na的前 n 项和为nS,且1 2nnnSnaac(c 是常数,nN*),26a
6、 =.(1)求 c 的值及na的通项公式;(2)证明:122311111 8nna aa aa a+L.【题情捉摸】(1)当时,得 (用表示),进而由,得 (用表示),1n 1a c2n 2a c又由26a =，得 ；于是可求得公关 ，便得 ；c d na (2)将(1)中的代入12231111nna aa aa a+L，观察其结构知，可用 解之.na32、等比数列的前项和为,已知对任意的,点均在函数nannSnN( ,)nn S且均为常数)的图像上. w(0xybr b1, ,bb r(1)求的值;r(2)当 b=2 时,记求数列的前项和.1()4n nnbnaN nbnnT【题情捉摸】(1
7、)由“点在曲线上”,可建立与的关系为 ,再( ,)nn SxybrnSn由“与法”求得 ，当， ,也合适，对比得 ;nanS1a 2n na 1ana1ar (2)由，观察的结构知可用 求得.2b nTnT焦点 3：一元二次不等式之公式法、十字相乘法 【例 3】1、解下列不等式(1) (2) 2120xx2120xx(3) (4)2620xx2620xx(5) (6)210xx 2220xx 【题情捉摸】用 可求得(1)、(2)、(3)、(4)的解，用 可求得(5)、(6)的 解.2、解关于 x 的不等式:().22 1axxax0a 4【题情捉摸】移项整理得 ，即，方程1(2)()0xxa1
8、(2)()0xxa有两实根 ， ，当 时，解集为 ；1x 2x 当 时，解集为 ；当 时，解集为 .焦点 4：一般不等式之等价变形法【例 4】1、首项是,从第 10 项开始比 1 大的等差数列的公差的取值范围是1 25dA. B. C. D.8 75d 3 25d 83 7525d83 7525d【题情捉摸】从第 10 项开始比 1 大，说明 1， 1，从中可解得的范围.10a9ad2、已知数列na的通项公式为)(21log2Nnnnan,设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn5成立的自然数 n 有A.最小值 63 B.最大值 63 C.最小值 31 D.最大值 31 【题情捉摸】可得 ，而 ，
9、从中可解得的取值范围.nS 5 25log n焦点 5：作差(商)法、综合法、分析法 【例 5】设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的na123aaanaA.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【题情捉摸】由 ，若，有 1，若，有123aaa10a q10a 1， ，于是数列是递增数列；0q1nnaa0na由数列是递增数列.na123aaa5焦点 6：构造函数法【例 6】1、在数列中，已知，是的前项和，求证：.naln1nnannSnan1nSn【题情捉摸】可得 ，只证 ，设，nS 11 1nn1 1xn 运用 法，可得证.2、已知且,数列的前
10、项的和,数列满足0p 1p nan(1)1nnpSap nb1nb,.21lognpnba11b (1)求证:数列是等比数列;na(2)若对于区间上的任意实数,总存在不小于 2 的自然数,当时,0,1knk恒成立,求的最小值.(1)(32)nbnk【题情捉摸】(1)当时，得 ，当时,得 1n 1a 2n 1nnnaSS，可得 ；(2)由(1)求得 ，有 ，由 1nna ana 1nnbb法，可求得 ，代入整理得，nb (1)(32)nbn2(32)540nnn令 ，只需考虑在上的最小值即可.( )f ( )f 0,10【真题回顾】 1、(2008 广东文)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公
11、差nnS244,20SSd A.2 B.3 C.6 D.7【名模精选】2、(2011 惠州二模文)已知条件：，条件：1，则是成立的p1x q1 xpqA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3、(2010揭阳一模文)不等式的解集为2320xx6A. B. C. D. , 21, U2, 1 ,12,U1,24、(2011 惠州二模文)已知等差数列的前项和为，且满足，则数列nannS32132SS的公差是naA. B. C. D.1 21235、(2010 揭阳二模文)已知是等差数列，则该数列前 13na6720aa7828aa项和等于13SA.156 B.
12、132 C.110 D.100 6、(2010 佛山一模文)若数列na满足：，其前n项和为nS，111,2()nnaaa nN 则 444Sa7、(2010 深圳一模文)设等比数列 na的公比21q,前n项和为nS,则44 aS= . 8、(2010 湛江一模文)已知数列 na的前n项和为nS，且11a，nnSa21(1)求432,aaa的值；(2)求数列 na的通项公式na；(3)设，求数列 nb的前n项和nTnnbna9、(2010 揭阳二模文)已知数列和满足，na nb112,1(1)nnnaaa a 1nnbanN (1)求数列的通项公式； nb(2)设，求使得对一切都成立的最小正整数；21 21nnncbb1ni ic10mnNm(3)设数列的前和为，试比较与的大小 nbnnS2nnnTSS1nTnT710、(2010 广州一模文)已知数列满足对任意的，都有， na*nN0na 且2333 1212nnaaaaaaLL(1)求，的值；1a2a(2)求数列的通项公式； nana(3)设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒21nna annS1log13naSan成立，求实数
