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1、P1P2 IIIIVO2007 年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一、填空题 (本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分。1计算 221lim3 (1)nn n n2若关于x的一元二次实系数方程有一个根为( 是虚数单位),则 20xpxq1 iiq3若关于x的不等式的解集为,则实数 01xa x(,1)(4,)Ua4函数的最小正周期为 2(sincos )yxx5设函数是奇函数若,则 )(xfy ( 2)( 1)3(1)(2)3ffff(1)(2)ff6在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为 6,则点P的
2、横坐标 xoy24yxPx7在平面直角坐标系中,若曲线与直线有且只有一个公共点,则实数 xoy24xyxmm8若向量,满足,则向量,的夹角的大小为 arbr2a r1b r1aabrrrarbr9若为方程的两个实数解,则 21xx 、11122xx21xx10在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从这些教师中随机挑选一人表演节目若选到男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有 人9 2011函数 的反函数是 21,0, 2,0xx yxx二、选择题 (本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,
3、选对得 4 分,否则一律得零分。12若集合,则“”是“”的( )21,Am2,4B 2m 4AB IA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件13如图,平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分、 (不包括边界)若1OP2OP,且点落在第部分,则实数满足( )12OPaOPbOPuuu ruuu ruuu r Pba、A B0,0ab0,0abC D0,0ab0,0ab14下列四个函数中,图像如图所示的只能是( )A BlgyxxlgyxxCDlgyxx lgyxx 15设是正实数,以下不等式 ba、 , , , 2abababaabb22243ababb22abab恒
4、成立的序号为( )A、B、C、D、三、解答题 (本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。16(本题满分 12 分)如图,在棱长为 2 的正方体中,分别是和的中点,求异面直线与ABCDA B C D FE、BAABFA所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)CE17(本题满分 14 分) 求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来 问题的一个“逆向”问题例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积”求出体积后,它16 3的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为,求
5、侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体16 3积为,求所有侧面面积之和的最小值”16 3试给出问题“在平面直角坐标系中,求点到直线的距离”的一个有意义的“逆xoy(2,1)P340xy向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题 18(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分如图,在直角坐标系中,设椭圆的左右两个焦点分别为过右焦点xoy2222:1(0)xyCabab21FF、且与轴垂直的直线 与椭圆相交,其中一个交点为2FxlC2,1M(1)求椭圆的方程;Cxyoy lMF1F2xO(2)设椭圆的一个顶点为,C), 0(bB直线交椭圆于另一点,求的
6、面积2BFCNBNF119(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分 某人定制了一批地砖每块地砖 (如图 1 所示)是边长为米的正方形,点E、F分别在边BC4 . 0ABCD 和CD上, 、和四边形均由单一材料制成,制成、和四边形的三CFEABEAEFDCFEABEAEFD 种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:1若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成 四边形EFGH (1)求证:四边形是正方形;EFGH(2)在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?FE、20(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1
7、 小题满分 6 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分.通常用分别表示的三个内角所对边的边长,表示的外接圆半径cba、ABCCBA、RABC(1)如图,在以为圆心、半径为 2 的中,和是的弦,其中,OOBCBAO2BC45ABCo求弦的长;AB(2)在中,若是钝角,求证:;ABCC2224abR(3)给定三个正实数,其中问:满足怎样的关系时,以 为边长,为外Rba、ab Rba、ba、R接圆半径的不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在存在的情ABCABC况下,用表示Rba、c21(满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分
8、 6 分,第 3 小题满分 8 分我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个首项为 1,公比为的数列q 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填 na写其它空格 第 1 列第 2 列第 3 列第列n 第 1 行1111图 1图 2第 2 行q第 3 行2q 第行n1nq(1)设第 2 行的数依次为,试用表示的值;12,nB BBLqn,12nBBBL(2) 设第 3 列的数依次为,求证:对于任意非零实数,;123,nc cccLq1322ccc(3)请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,
9、被认为选择了第一问)能否找到的值,使得(2) 中的数列的前项 () 成为等q123,nc cccLm12,mc ccL3m比数列?若能找到,m的值有多少个?若不能找到,说明理由能否找到的值,使得填完表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?q 并说明理由参考答案说明: 1本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。2评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一 步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部 分的给分
10、,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3第 16 题至第 21 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数。 4给分或扣分均以 1 分为单位。 一、( 第 1 至 11 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分。1223445365728912 33 410120111,1, 2,0.xx y xx 二、( 第 12 至 15 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分。 12A 13B 14B 15D 三、( 第 16 至 21 题) 16解法一:如图建立空间直角坐标系 2 分由题意可知(2, 0, 2),(0, 2, 0),(2
11、, 1, 2),(2, 1, 0)ACEF6 分(0,1,2),(2,1,2)A FCEuuu u ruuu r设直线AF与CE所成角为,则 10 分55cos35 3A F CEA FCE uuu u r uuu ruuu u ruuu r,5arccos3即异面直线与所成角的大小为 FACE5arccos312 分 解法二:连接, EB2 分 ,且,是平行四边形,则/A EBFQA EBFA FBE,/A FEB 异面直线与所成的角就是与所成的角 FACECEEB6 分 由平面,得CBABABBECB 在中,RtCEB2,5CBBE则, 10 分2 5tan5CEB2 5arctan5CE
12、B异面直线与所成角的大小为FACE 12 分2 5arctan517 点到直线的距离为 4 分(2,1)340xy 22|3 24 1|2 34 “逆向”问题可以是:(1)求到直线的距离为 2 的点的轨迹方程 10 分340xy设所求轨迹上任意一点为,则,( ,)P x y|34 |25xy所求轨迹为或 14 分34100xy34100xy(2)若点到直线的距离为 2,求直线 的方程10 分(2,1)P:0l axbyl由,化简得,或, 22|2|2abab 2430abb0b 43ab所以,直线 的方程为或 14 分l0x 340xy 意义不大的“逆向”问题可能是: (3)点是不是到直线的距
13、离为 2 的一个点?6 分(2,1)P340xy因为, 22|3 24 1|2 34 所以点是到直线的距离为 2 的一个点10 分(2,1)P340xy(4)点是不是到直线的距离为 2 的一个点?6 分(1,1)Q340xy因为, 22|3 14 1|72534 所以点不是到直线的距离为 2 的一个点10 分(1,1)Q340xy(5)点是不是到直线的距离为 2 的一个点?6 分(2,1)P5120xy因为, 22|5 2 12 1|22213512 所以点不是到直线的距离为 2 的一个点10 分(2,1)P5120xy评分说明: ()在本题的解答过程中,如果考生所给问题的意义不大,那么在评分标准的第二阶段所列 6 分中,应 只给 2 分,但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定。 ()当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同,可参照所列评分标准的精神进行评分。18(1) 解法一:轴,的坐标为 2 分xl Q2F2,0由题意可知 得 2222211,2,ab ab 224, 2.a b所求椭圆方程为 6 分22 142xy解法二:由椭圆定义可知122MFMFa由题意, 2 分21MF121MFa又由可知,Rt21FMF22(21)2 21a0a 2a 又,得222ab22b