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1、P1P2 IIIIVO2007 年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一、填空题 （本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分。1计算 221lim3 (1)nn n n2若关于x的一元二次实系数方程有一个根为（ 是虚数单位），则 20xpxq1 iiq3若关于x的不等式的解集为，则实数 01xa x(,1)(4,)Ua4函数的最小正周期为 2(sincos )yxx5设函数是奇函数若，则 )(xfy ( 2)( 1)3(1)(2)3ffff(1)(2)ff6在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为 6，则点P的
2、横坐标 xoy24yxPx7在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数 xoy24xyxmm8若向量，满足，则向量，的夹角的大小为 arbr2a r1b r1aabrrrarbr9若为方程的两个实数解，则 21xx 、11122xx21xx10在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有 人9 2011函数 的反函数是 21,0, 2,0xx yxx二、选择题 （本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
3、选对得 4 分，否则一律得零分。12若集合，则“”是“”的（ ）21,Am2,4B 2m 4AB IA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件13如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分、 （不包括边界）若1OP2OP，且点落在第部分，则实数满足（ ）12OPaOPbOPuuu ruuu ruuu r Pba、A B0,0ab0,0abC D0,0ab0,0ab14下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）A BlgyxxlgyxxCDlgyxx lgyxx 15设是正实数，以下不等式 ba、 ， ， ， 2abababaabb22243ababb22abab恒
4、成立的序号为（ ）A、B、C、D、三、解答题 （本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。16（本题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与ABCDA B C D FE、BAABFA所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）CE17（本题满分 14 分） 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来 问题的一个“逆向”问题例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积”求出体积后，它16 3的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4，体积为，求
5、侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体16 3积为，求所有侧面面积之和的最小值”16 3试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离”的一个有意义的“逆xoy(2,1)P340xy向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题 18（本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为过右焦点xoy2222:1(0)xyCabab21FF、且与轴垂直的直线 与椭圆相交，其中一个交点为2FxlC2,1M（1）求椭圆的方程；Cxyoy lMF1F2xO（2）设椭圆的一个顶点为，C), 0(bB直线交椭圆于另一点，求的
6、面积2BFCNBNF119（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分 某人定制了一批地砖每块地砖 （如图 1 所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC4 . 0ABCD 和CD上， 、和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三CFEABEAEFDCFEABEAEFD 种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:1若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成 四边形EFGH （1）求证：四边形是正方形；EFGH（2）在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？FE、20（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1
7、 小题满分 6 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 8 分.通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径cba、ABCCBA、RABC（1）如图，在以为圆心、半径为 2 的中，和是的弦，其中，OOBCBAO2BC45ABCo求弦的长；AB（2）在中，若是钝角，求证：；ABCC2224abR（3）给定三个正实数，其中问：满足怎样的关系时，以 为边长，为外Rba、ab Rba、ba、R接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情ABCABC况下，用表示Rba、c21（满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分
8、 6 分，第 3 小题满分 8 分我们在下面的表格内填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个首项为 1，公比为的数列q 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填 na写其它空格 第 1 列第 2 列第 3 列第列n 第 1 行1111图 1图 2第 2 行q第 3 行2q 第行n1nq（1）设第 2 行的数依次为，试用表示的值；12,nB BBLqn,12nBBBL（2） 设第 3 列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；123,nc cccLq1322ccc（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，
9、被认为选择了第一问）能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 （） 成为等q123,nc cccLm12,mc ccL3m比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由能否找到的值，使得填完表格后，除第 1 列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？q 并说明理由参考答案说明： 1本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。2评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一 步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部 分的给分
10、，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 3第 16 题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数。 4给分或扣分均以 1 分为单位。 一、（ 第 1 至 11 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分。1223445365728912 33 410120111,1, 2,0.xx y xx 二、（ 第 12 至 15 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分。 12A 13B 14B 15D 三、（ 第 16 至 21 题） 16解法一：如图建立空间直角坐标系 2 分由题意可知(2, 0, 2),(0, 2, 0),(2
11、, 1, 2),(2, 1, 0)ACEF6 分(0,1,2),(2,1,2)A FCEuuu u ruuu r设直线AF与CE所成角为，则 10 分55cos35 3A F CEA FCE uuu u r uuu ruuu u ruuu r，5arccos3即异面直线与所成角的大小为 FACE5arccos312 分 解法二：连接， EB2 分 ，且，是平行四边形，则/A EBFQA EBFA FBE，/A FEB 异面直线与所成的角就是与所成的角 FACECEEB6 分 由平面，得CBABABBECB 在中，RtCEB2,5CBBE则， 10 分2 5tan5CEB2 5arctan5CE
12、B异面直线与所成角的大小为FACE 12 分2 5arctan517 点到直线的距离为 4 分(2,1)340xy 22|3 24 1|2 34 “逆向”问题可以是：（1）求到直线的距离为 2 的点的轨迹方程 10 分340xy设所求轨迹上任意一点为，则，( ,)P x y|34 |25xy所求轨迹为或 14 分34100xy34100xy（2）若点到直线的距离为 2，求直线 的方程10 分(2,1)P:0l axbyl由，化简得，或， 22|2|2abab 2430abb0b 43ab所以，直线 的方程为或 14 分l0x 340xy 意义不大的“逆向”问题可能是： （3）点是不是到直线的距
13、离为 2 的一个点？6 分(2,1)P340xy因为， 22|3 24 1|2 34 所以点是到直线的距离为 2 的一个点10 分(2,1)P340xy（4）点是不是到直线的距离为 2 的一个点？6 分(1,1)Q340xy因为， 22|3 14 1|72534 所以点不是到直线的距离为 2 的一个点10 分(1,1)Q340xy（5）点是不是到直线的距离为 2 的一个点？6 分(2,1)P5120xy因为， 22|5 2 12 1|22213512 所以点不是到直线的距离为 2 的一个点10 分(2,1)P5120xy评分说明： （）在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列 6 分中，应 只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定。 （）当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分。18（1） 解法一：轴，的坐标为 2 分xl Q2F2,0由题意可知 得 2222211,2,ab ab 224, 2.a b所求椭圆方程为 6 分22 142xy解法二：由椭圆定义可知122MFMFa由题意， 2 分21MF121MFa又由可知，Rt21FMF22(21)2 21a0a 2a 又，得222ab22b
