奥林匹克数学的技巧

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1、2-7 奥林匹克数学的技巧奥林匹克数学的技巧上面按内容分类介绍奥林匹克数学的四大支柱时，已经上面按内容分类介绍奥林匹克数学的四大支柱时，已经广泛接触到数学竞赛的基本方法与基本技巧本节作横向广泛接触到数学竞赛的基本方法与基本技巧本节作横向的分类，集中介绍数学竞赛中的解题思路、解题方法和解的分类，集中介绍数学竞赛中的解题思路、解题方法和解题技巧题技巧1常规方法（体现数学竞赛方法的一般性）常规方法（体现数学竞赛方法的一般性）数学竞赛题首先是数学题，但又不是单靠记忆和模仿就数学竞赛题首先是数学题，但又不是单靠记忆和模仿就能解决的常规能解决的常规“练习题练习题” （Exercise） ，而是具有接受性、

2、障，而是具有接受性、障碍性、研究性的问题（碍性、研究性的问题（Problen） ，须在一般思维规律指导下，须在一般思维规律指导下，综合而灵活地运用数学基础知识和数学基本方法才能解决，综合而灵活地运用数学基础知识和数学基本方法才能解决，表现为一种创造活动这当中经常使用一些常规方法，如表现为一种创造活动这当中经常使用一些常规方法，如构造法、反证法、数学归纳法、换元法、配方法、待定系构造法、反证法、数学归纳法、换元法、配方法、待定系数法数法，平时掌握的所有解题方法都可以用到竞赛上，平时掌握的所有解题方法都可以用到竞赛上来来2数学奥林匹克的技巧（体现竞赛方法的特殊性）数学奥林匹克的技巧（体现竞赛方法的

3、特殊性）构造、对应、递推、区分、染色、极端、对称、配对、构造、对应、递推、区分、染色、极端、对称、配对、特殊化、一般化、数字化、不变量、整体处理、变换还原、特殊化、一般化、数字化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表这些方法在中学日常教学中用得比较少，因而表现出竞这些方法在中学日常教学中用得比较少，因而表现出竞赛方法的特殊性赛方法的特殊性3数学奥林匹克技巧的性质数学奥林匹克技巧的性质 在在 2-1 曾经说过：曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是

4、使用数学技巧的技巧，又或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美诗、音乐、绘画的数学美 ”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分部分使用数学技巧的技巧，使用数学技巧的技巧，2-7-1 构造构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形

5、式，使得问题在这种形式下简向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构捷解决常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等例例 1 求值求值tan204sin20oo解解 （构造图形）作（构造图形）作 ，Rt ABCV60ABCo1,3BCAB且作且作使使BD，20 ,40CBDDBAoo则则 1 cos20BD o由面积关系由面积关系，ABDDBCABCSSSVVV，111sin40sin20222AB BDBC BDBC ACooggg，111132sin401si

6、n202cos202cos202oo oog gggtan204sin203oo例例 2 已知已知为正数且为正数且求表达式求表达式, ,x y z()1xyz xyz的最小值的最小值 （19891989全苏）全苏）()()xyyz解法解法 1 （构造图形）构造一个（构造图形）构造一个，ABCV其中三边长分别为其中三边长分别为, , ,axy byz czx 则其面积为则其面积为( ()()()()1Sp papbpcxyz xyz另方面另方面2()()2sinSxyyzabC故知，当且仅当故知，当且仅当C=90时，取值得最小值时，取值得最小值 2，亦即，亦即222()()()xyyzxz()y

7、 xyzxz时，时，取最小值取最小值 2，下面验证最小值可以取到由，下面验证最小值可以取到由()()xyyz()1, (),xyz xyz xzy xyz 有有 ， 2()1xzxyz xyz取取代入上式，得代入上式，得，解之取正值，解之取正值，1xz21y y21y 得得()()2xyyz解法解法 2 用基本不等式用基本不等式，()()()2()2xyyzxzy xyzxyz xyz当当时，时，有最小值有最小值 2， ()xzy xyz()()xyyz例例 3 已知已知，求证，求证221bc a24bac证明证明 1 由已知条件可得由已知条件可得，22abc2 24242abaccac证明证

8、明 2 （构造方程）从（构造方程）从想到一元二次方程想到一元二次方程24bac20axbxc的判别式，而已知条件即的判别式，而已知条件即 20,2,2axbxcx 得方程有时实根，于是得判别式非负得方程有时实根，于是得判别式非负24bac例例 4 有质量为有质量为 克，克，克，克，克的砝码，证明克的砝码，证明212221000可将它们分成质量相等的两组，每组各有可将它们分成质量相等的两组，每组各有 500 个砝码个砝码证明证明 （构造恒等式）构造一个（构造恒等式）构造一个 4 平方恒等式平方恒等式 222222223561247xxxxxxxx均等于均等于分别令分别令，并求和即，并求和即242

9、870xx81,0,1,2,124xkkL得得例例 5 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？最少要把这些苹果和梨分成几堆？解解 （1）4 堆是不能保证得堆是不能保证得.如如 4 堆的奇偶性为：（反例）堆的奇偶性为：（反例）（奇奇）（奇奇） ， （偶偶）（偶偶） ， （奇偶）（奇偶） ， （偶奇）（偶奇）.（2）5 堆是可以保证堆是可以保证. 因为苹果和梨数的奇偶性有且只因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述有上述 4 种可

10、能，当把这些苹果和梨分成种可能，当把这些苹果和梨分成 5 堆时，必有堆时，必有 2堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数.例例 6 一位棋手参加一位棋手参加 11 周（周（77 天）的集训，每天至少下天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下一盘棋，每周至多下 12 盘棋，证明这棋手必在连续几天内盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了恰好下了 21 盘棋盘棋证明证明 （构造抽屉）用（构造抽屉）用表示这位棋手在第表示这位棋手在第 1 天至第天至第 天天nan（包括第（包括第 天在内）所下的总盘数（天在内）所下的总盘数（） ，依题意，依题意 n1,2,7

11、7n 1277112 11132aaaL考虑考虑 154 个数：个数：12771277,21,21,21a aaaaaLL,又由又由，即，即 154 个数中，每一个取值个数中，每一个取值7721 13221153154a是从是从 1 到到 153 的自然数，因而必有两个数取值相等，由于的自然数，因而必有两个数取值相等，由于时，时，ij，iiaa2121ijaa故只能是故只能是满足满足,21(771)ija aij 2121ijijaaaa这表明，从这表明，从天到天到 天共下了天共下了 21 盘棋盘棋1j i这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并

12、具体构造了了 154 个个“苹果苹果”与与 153 个个“抽屉抽屉” ，其困难、同时也是精，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理妙之处就在于想到用抽屉原理例例 7 ( 27-3 德意志民主共和国德意志民主共和国)正五边形的五个顶点每正五边形的五个顶点每个对应一个整数个对应一个整数,使得这五个整数的和为正若其中三个相使得这五个整数的和为正若其中三个相连顶点相应的整数依次为连顶点相应的整数依次为,而中间的而中间的,则要进行如下则要进行如下zyx,0y的调整的调整:整数整数分别换为分别换为,只要所得的五个整数只要所得的五个整数zyx,yzyyx,中至少还有一个为负数时中至少还有一个为负数时,

13、这种调整就继续进行这种调整就继续进行,问是否这种问是否这种操作进行有限次以后必定终止操作进行有限次以后必定终止证明证明 （构造函数）作函数（构造函数）作函数 22222, , , ,f x y z u vxzyuzvuxvy若若，则进行一次操作，有，则进行一次操作，有0y 122222, ,ff xyy yz u vxzyuyzvuxyvy相减相减 120ffy xyzuv这表明，每经过一次操作这表明，每经过一次操作 的值至少减少的值至少减少 2，但，但 为非负为非负ff正数，因此，这种操作进行有限次以后必定终止正数，因此，这种操作进行有限次以后必定终止例例 8 命题命题“若若为无理数，则为无

14、理数，则也为无理数也为无理数”是否成是否成, x yyx立？立？解解 （构造反例）不成立，构造反例如下：取无理数（构造反例）不成立，构造反例如下：取无理数，2考虑考虑，22（1）若）若为有理数，则取为有理数，则取为反例为反例.222xy（2）若）若为无理数，则取为无理数，则取，有，有2222,2xy，为反例，为反例.222222yx例例 9 编号为编号为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八支篮球队进的八支篮球队进行循环赛，每天每队赛行循环赛，每天每队赛 1 场，场，7 天赛完，请给安排一张日程天赛完，请给安排一张日程表表.解解 （构造算法）用同余的方法来设计（构造算法）用同余的方法来设计.先

15、考虑先考虑1，2，3，4，5，6，7，的比赛（剩下的队与，的比赛（剩下的队与 8 比赛）比赛）.如果如果，mod7ijk我们就安排第我们就安排第 队与第队与第 队在第队在第 天比赛，这样第天比赛，这样第 天就安天就安ijkk排第排第 队与第队与第或或队比赛，每天前队比赛，每天前 7ikiki当时7kiki当时个队最多赛个队最多赛 1 场，还有场，还有 1 个队满足个队满足mod7iik 两边乘以两边乘以 4，有，有4mod7ik依次取依次取。可得没有比赛的队为。可得没有比赛的队为1,2,3,4,5,6,7k 4，1，5，2，6，3，7，可安排其与第，可安排其与第 8 队比赛队比赛.得到下面的得到下面的日程表日