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1、1指数为奇素数时费马方程无正整数解李新福阅注指数为奇素数时费马方程无正整数解李新福阅注夏永祥(李新福阅注)湖南省湘潭县花石中心小学（411218)E-mail:摘摘 要：要：首先，我们用桥数和格数来表示费马方程；然后证明了在桥数方程中，如果当为某一个大于1的 正整数时，与同时有正整数解，则时的基元方程中，与也一定同时有正整数解；接着证明了在基 元方程中，不可能同时有正整数解，从而完成了对费马大定理的最终证明关键词：关键词：数论；费马大定理；正整数；素数0 引言引言对于费马大定理，历时 300 多年，已经由英国的数学家威利斯（Andrew John Wiles）于 1994 年解 决，他是利用二
2、十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明的但证明过程之复杂，文字之长，不 是一般人所能看懂的1能否找到费马大定理的巧妙证明，仍然是现在业余数学爱好者所不懈追求的 陈景润在初等数论 （科学出版社 1978）第 67-68 页提到了，要证明费马大定理是正确的（即对时均不能同时有正整数解 【其中(x,y,z,p)=1 】李新福阅注李新福阅注nnnzyx2n zyx,） ，只需证和 (为奇素数)均不能同时有正整数解2其中不444zyxpppzyxpzyx,定方程中不能同时有正整数解他已经在此书中完成了证明（第68-70 页） 所以444zyxzyx,在本文中，我们只证明指数为奇素数时，均不能同时有
3、正整数解zyx,在本文中，为了表述的方便，我们将不定方程叫费马方程，符号表示3nNnzyxnnnN正整数，符号表示正有理数，符号表示整数QZ1 1 预备知识预备知识在完成费马大定理的最终证明时，会要用到以下一些数学知识：1.1.1.1.二项式定理：二项式定理：（）3nn nnn nn nn nn nnbCabCbaCbaCaCba 11222110Nn1.2.1.2.设整系数高次方程的一般表达式是：0012 22 21 1 axaxaxaxaxan nn nn n30,210 naZnaaaann在这个以为未知数的整系数高次方程中，设A为常数项所有约数（含负数）的集合，B为最高次项x0a系数的
4、所有约数（含负数）的集合，则的有理数根，一定属于集合； 的整nax BbAabaXQ,x数根，一定属于集合4AaaXZ1.3.1.3.费马小定理：费马小定理：设为一素数，而与互素，则必为的倍数此定理于1736年由欧勒papaapp2得出其证明51.4.1.4.引理引理 1 1：如果费马方程中：如果费马方程中同时同时有有正正整整数数解解，那那么么设设格格数数6，桥桥数数7，费费zyx,kzymxk马马方方程程就就可可表表示示为为：.【其中(x,y,z,p)=1 ; (m-k, y, y+k, p)=1 】nnnkyykm李新福阅注李新福阅注 证证明明：因为都是正整数，并且zyx,n3nnnxyz
5、n且所以，且；如果设（） ，（） ，那么yz xz kzyNkk, 0mxkNmxm,，所以式可表示为：证毕kmxkyznnnkyykm说说明明：为了表述的方便，我们把形于的方程叫桥数方程nnnkyykm【其中 (m-k, y, y+k, p)=1 】李新福阅注李新福阅注 1.5.1.5.引理引理2 2：如如果果费马方程中费马方程中同时同时有有正正整整数数解解，那那么么它它的的桥桥数数、格格数数均均是是正正整整数数并并且且与与zyx,mk、的的关关系系是是： 且且. .xyzkyzxmkm 证明：根据引理1，因为，所以，所以；又因为kzymxkxmkkyzxm，为正整数，所以，即证毕kmxx0
6、kmkm 1.6.1.6.引理引理 3 3：如果费马方程：如果费马方程有桥数，则桥数有桥数，则桥数必定是正偶数必定是正偶数m证明：证明：在费马方程中，的奇偶性分别由的奇偶性决定；当与同为奇数时（分别用nnnzyx,zyx,xy表示） ，必为偶数（用表示） ；所以根据引理 2 有12 , 12bazc2， 是偶数abcabcxyzm212122m同理，当与同为偶数时（分别用表示） ，必为偶数（用表示） ，所以xyba 2 ,2zc2， 也是偶数abcabcxyzm2222m同理，当与一奇一偶时（分别用或表示） ，必为奇数（用表示） ，所xyba2 , 12 12 ,2baz12 c以，或1212
7、212abcabcxyzm，也是偶数212122mzyxcbacba m综上所述，费马方程如果有桥数，则桥数必定是偶数，又因为是正整数，所以是正偶数证mmm 毕1.7.1.7.引理：当引理：当为奇素数时，二项式为奇素数时，二项式的的次幂的展开式中各项系数除首尾两项外，中间各项次幂的展开式中各项系数除首尾两项外，中间各项pyxp3的系数都能被的系数都能被整除整除p证明：证明：根据二项式定理，的展开式中第项的系数是pyxaNapa,2，因为，所以的分母的所有因数均小于，所以如果 !1!1!1C apapa ppa 2C1a pp不能被整除，则分子中的因数一定能与分母中的某一个不是而又小于的因数约分
8、，C1a pp!ppp这与是奇素数矛盾，所以能被整除证毕pC1a pp说明：说明：因为二项展开式各项的系数之和是，所以当是奇素数时，p2p22 pp1.8.1.8.一个正分数的一个正分数的（）次幂恒为正分数；一个正整数开）次幂恒为正分数；一个正整数开（）次方不可能是正分）次方不可能是正分n Nnn Nn 数数证明：证明：设一个正分数为（）,且的标准分解式分别是ab1,1, 1,babaNba；ba,（） ，（） 因为，所以分na naauuua 21 21 Naan1nb nbbvvvb 21 21 Nbbn11,ba子各个因数与分母各个因数任意两个因数两两互素，所以na naauuu 21
9、21,nb nbbvvv 21 21,与任意两个因素也两两互素，所以也是正分数nna nnanauuu 21 21,nnb nnbnbvvv 21 21,nnab另：当时，因为且，所以也是正分数1b1a Nana1综上所述，所以一个正分数的（）次幂恒为正分数成立 n Nn假设正整数开（）次方是正分数，设（，且） ，那么an Nndcan Ndc,1,dc1d，等式左边是正整数，等式右边恒为正分数，正整数不等于正分数，所以假设不成立，ndca andc即一个正整数开（）次方不可能是正分数证毕n Nn说明：说明：因为一个正整数开（）次方不可能为负数、正分数和零，所以一个正整数开（n Nnn）次方要
10、么是正整数，要么是非有理数 Nn1.9.1.9.引理：当引理：当是任意确定的正整数时，如果是任意确定的正整数时，如果（）有约数）有约数，且，且，那么，那么是是kpm Npm,kkm m的正有理数倍，即的正有理数倍，即（且且） 因为且且; ;所以根据引理1，因为kkiwm 1,iwiw 1,iwiw ，=x+z-y，m是正整数; 则是正整数; 则i整除k; 可设k=i;即m=wkzymxkkiwm 1k1k; w(m, k)= (w, i)= ( )=;李新福阅注李新福阅注1k1k,w i1k证明：证明：因为且，所以是正有理数，于是设，即（且）.因为km km iw kmkiwm 1,iwiw
11、4是正整数，所以.如果设()，则，不一定有约数,于是设（mkiik N wmpmkrik且） ，所以：QrN,1r)1( rpppprp ppp piwiiwkiwm所以只要当有约数时，都有约数，即当是任意确定的正整数时，如果1rpiri1rpppiwri k（且）有约数,则证毕pm Npm,km kkiwm 说明：说明：根据上面的证明，当有约数时，也就是当（）时，都有约1rpirirrp1Nri数，此时，所以时，都有约数；当时，此时，即ri1ppr 1ppr1rpiri01pp ik，因为，所以 开（）次方要么是正整数，要么是非有理数，1piik Nki,i1pNp1如果是非有理数，那么必定
12、有一个不属于正整数，这与矛盾，所以，所以1pik, Nk, Nip 1 Nipp 11.10.1.10. ( () )与与具有完全相同的基素数，而具有完全相同的基素数，而与与具有完全不同的基素数具有完全不同的基素数ba1,aNbaa1aa如果设的标准分解式8是，其中，是各不相同的素数，我an naaapppa 2 21 11nnppp,21 们把它叫做基素数，都是正整数，那么所以的基素数与的基naaa,21 n nbabababpppa 2 21 1baa素数完全相同假设与有一个相同的基素数，则，其中，1aappa1paN,，因为，这样的不存在，所以与具有完全不同的基素数 11paap1aa1
13、.11.1.11. 当当被除数（或被除式）不为被除数（或被除式）不为0 0时，只要除数（或除式）的基素数有一个不属于被除数（或被除时，只要除数（或除式）的基素数有一个不属于被除数（或被除 式）的基素数时，则这两个整数（或整式）一定不整除式）的基素数时，则这两个整数（或整式）一定不整除 因为被除数（或被除式）不为0，所以只要当除数（或除式）的基素数有一个不属于被除数（或被除 式）的基素数时，则约分后分母一定不会为1，所以这两个整数（或整式）相除一定是分数，而不是整数， 所以这两个整数（或整式）一定不整除1.12.1.12. 引理引理6 6：如果：如果( () )有约数有约数，且，且为素数，那么为
14、素数，那么naNna,ppap证明：证明：因为()有约数，且为素数，所以是的一个基素数，而与具有完全naNna,pppnanaa相同的基素数，所以证毕ap2 2 对费马大定理的最终证明对费马大定理的最终证明如果当指数为奇素数时，费马方程中同时有正整数解，则根据引理1，有桥数方程:zyx,（属于奇素数）pppkyykmp,p=1 -1; li-xin-李新福阅注李新福阅注kyykm,5其中，当为某一个确定的正整数时，均为正整数kym,2.1.2.1.先证明在桥数方程先证明在桥数方程（属于奇素数属于奇素数=1; li-xin-pppkyykmppkyykm,; 李新福阅注李新福阅注 ）中，如果）中，如果 为任意一个大于的确定的正整数时，为任
