《九年级数学下册 27.2 相似三角形深度解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 27.2 相似三角形深度解析（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 相似三角形学 习 目 标 导 航知道相似三角形的概念, 能准确找出两个相似三角形的对应边和对应角识别两个三角形相似的条件, 会选择恰当的方法识别两个三角形相似学会运用三角形相似的知识, 解决不能直接测量物体的长度和高度等一些 实际问题知道相似三角形的性质, 能运用性质进行有关计算教 材 知 识 详 析要点 相似三角形及其相关知识对应角相等、 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形对应边的比叫做相似比若A B C与A B C 相似, 记 作A B C A B C , 读 作A B C相 似 于A B C 若A B CA B C , 且A B A B B C B C C A C A k, 则k称
2、为A B C与A B C 的相似比, 若k, 则A B CA B C 归纳整理: () 用“” 这个符号表示两个图形相似时, 对应的顶点应该写在对 应的位置上例如:A B CD E F时, 点A和点D, 点B和点E, 点C和点F分别是对应顶点这样就可以比较容易找到相似三角形的对应角和对应边() 相似 比有 顺序, 即若A B C与A B C 的 相 似 比 为k, 则A B C 与A B C的相似比为 k() 全等三角形是相似比为的相似三角形, 即相似三角形包含全等三角形, 但相似三角形不一定是全等三角形() 相似的特征: 两个三角形的形状一样, 但大小不一定一样 () 相似的性质: 相似三角
3、形的对应角相等, 对应边成比例 () 根据 相 似 三 角 形 的 定 义 可 知: 若 已 知A B C ABC,ABCABC, 则A B CABC, 即相似三角形也具有传递性 例 如图 所示, 已知A B CA E D, 则A B C, 且A,A C B ,A B A E 图 精析: 根据相似三角形对应角相等, 对应边的比相等, 所以只需确定出对应角和对应边解答:A AD E A CADB C D E相似三角形的对应角、 对应边的找法与全等三角形的对应角、 对应边 的寻找规律一样一般地, 公共角、 对顶角等是对应角, 最大( 小) 的角对应最大 ( 小) 的角, 最长( 短) 的边对应最长
4、( 短) 的边要点 平行线分线段成比例定理() 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段的比相等() 平行线分线段成比例定理的推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线) , 所得的对应线段的比相等关键提醒: () 使用平行线分线段成比例定理时, 一要看清平行线组; 二要找准平行线组截得的对应线段, 否则就会发生错误() 两条直线被三条平行线所截, 如果在其中一条上截得的线段相等, 那么在另一条上截得的线段也相等例 如 图 所 示, 已 知A BC DE F, 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是( )图 AAD D FB C C EBB C C E
5、D F ADCC D E FB C B EDC D E FAD A F精析: 截线是A B、C D、E F, 被截线是MN、O P, 根据平行线分线段成比例定理可知, 在被截线上截得的线段成比例解答:A在表示三条平行线截两条直线, 所形成的成比例的线段时, 可以根据 三条截线截两条直线的线段所在的位置记忆, 即两条截线上同一位置的截线断的比值是相等的, 如:上 下上 下,上 全上 全,下 全下 全,左 右左 右等要点 利用平行线判定三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似拓展探究: 平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线( 或反向延长线) 相交, 所构成
6、的三角形与原三角形相似如图 所示,D EB C分别交A B C的边A B、A C的延长线( 或反向延长线) 于点D、E, 则AD EA B C这两个基本图形, 可以分别记为“A” 字型和“X” 字型图 例 如图 () , 四边形A B C D是平行四边形, 则图中与D E F相似的三角形共有( )图 ()A 个B 个C 个D 个 精析: 由于四边形A B C D是平行四边形, 所以有F DB C,D EA B于是图中可分解出符合“A” 和“X” 型两种基本图形,故与D E F相似的有B C E和A B F, 选B图 ()解答:B 识图是一种思维训练, 也是对能力的培养, 识图在解题中非常重要要
7、点 相似三角形的判定定理( 重点)判定: 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似;判定: 如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似;判定: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似归纳整理: () 应用判定时, 判断三边是否成比例可先将三边按大小顺序排列, 然后再计算它们对应边的比, 最后由此值来确定两个三角形是否相似() 应用判定时, 角必须是两边的夹角 () 应用判定时, 只需找到这两个三角形有两组对应角相等即可 () 判定两个三角形相似的方法有四种, 当图形中有平行线时, 多利用平行线判定;
8、当图形中已知两三角形的一组对应角相等时, 可以尝试证明另一组角相等,或是证明相等的这组角的两组夹边对应成比例; 当题中已知两三角形中三边的长度时, 可以用三组对应边的比相等来证明两三角形相似() 相似三角形判定定理的作用:可以用来判定两个三角形相似;间接证明角相等、 线段成比例;间接地为计算线段长度及角的大小创造条件图 例 如图 , 已知A BADB C D EA C A E () 试说明B ADC A E; ()B AD和C A E相似吗?精析: ()欲 说 明B AD C A E, 可 转 化 为 说 明A B CAD E, 得到B A CD A E由已知条件, 根据 “ 三边对应成比例的
9、两个三角形相似” 可得出这两个三角形相似() 根据“ 两边对应成比例, 夹角相等的两个三角形相似” 可得到B AD和C A E相似解答: () A BADB C D EA C A E, A B CAD E B A CD A E B A CD A CD A EDA C,即 B ADC A E()B AD和C A E相似 A BADA C A E, 且B ADC A E, B ADC A E 例 如图 , 方格纸中每个小正方形的边长为,A B C和D E F的顶点都在方格纸的格点上图 () 判断A B C和D E F是否相似, 并说明理由; ()P、P、P、P、P、D、F是D E F边上的个格点,
10、 请在这个格点中选 取个点作为三角形的顶点, 使构成的三角形与A B C相似( 要求写出个符合条件的三角形, 并在图中连接相应线段, 不必说明理由)精析: 结合网格, 可分别得到这两个三角形的各边长, 借助三边对应成比例可判定两个三角形相似解答: ()A B C和D E F相似根据勾股定理, 得A B ,A C ,B C ;D E ,D F ,E F A BD EA C D FB C E F , A B CD E F () 答案不唯一, 图 中个三角形中的任意个均可PPD,PPF,PPD,PPD,PPP,PF D图 在应用证明三角形相似时, 已知有公共角, 首先要考虑利用两角对应 相等, 两相
11、似三角形相似, 然后考虑找夹这个公共角的两对对应边的比是否相等要点 相似三角形的实际应用相似三角形的应用主要有两个方面:() 测高( 不能直接使用皮尺或刻度尺量的)测高的方法: 测量不能到达顶部的物体的高度, 通常用“ 在同一时刻不同物体的物高与影长的比相等” 的原理来解决() 测距( 不能直接测量两点间的距离的)测距的方法: 测量不能到达的两点间的距离, 常构造相似三角形求解以测量旗杆高度为例, 其主要方法有:() 利用阳光下的影子, 其根据是同一时刻, 旗杆高人高旗杆的影长人影长; () 利用标杆法, 其原理如图() , 测量坐标杆高C D, 人眼离地面高A B, 根据A C GA EH,
12、 求出EH即可; () 利用镜子的反射, 如图() , 只要测出人眼离地面的高度A B, 镜子与人的距离B E和镜子与旗杆的距离D E, 根据A B EC D E, 求出C D即可()()图 关键提醒: () 从实际问题的情景中, 发现相似三角形是解这类问题的关键; () 解决背景复杂的相似三角形应用问题的关键就是将题目中的信息转化到数学图形中例 一个铝质三角形框架的三条边长分别为 c m, c m, c m, 要做一个与它相似的铝质三角形框架, 现有长为 c m、 c m的两根铝材, 要求以其中的一根为一边, 从另一根上截下两段( 允许有余料) 作为另外两边截法有( )A 种B 种C 种D
13、种精析: () 假设以 c m为一边, 把 c m截成两段, 设这两段分别为xc m,yc m(xy)则可得 x y 或 x y( 注: c m不可能是最小边) ,由解得x ,y , 符合题意; 由解得x ,y ,xy , 不合题意, 舍去() 假设以 c m为一边, 把 c m截成两段, 设这两段分别为xc m,yc m(xy)则可得 x y ( 注: 只能是 是最大边) , 解得x ,y ,xy , 不合题意, 舍去综合以上可知, 截法只有一种解答:B由两实物平行, 即构造出两三角形相似, 进而利用相似的性质求出旗 杆的高度要点 相似三角形的性质() 相似三角形周长的比等于相似比相似多边形
14、周长的比等于相似比() 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方顿有所悟: () 相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;() 两个相似多边形对应对角线的比等于相似比; () 相似多边形中的对应三角形相似, 其相似比等于相似多边形的相似比关键提醒: () 在运用相似三角形的面积比等于相似比的平方时, 一定要防止出现面积比等于相似比这样的错误, 在由面积比求相似比时, 注意相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根() 两个三角形全等和相似的性质对比如下表, 不要混淆全等三角形相似三角形性质对应线段相等对应线段的比等于相似比对应角相等对应角相等周长的比等于周长的比等于相似比面积的比等于面积的比等于相似比的平方例 如图 所示, 已知D EB C, 且ADB D
