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1、 几何中辅助线几何中辅助线例题 1如图 1，D 是ABC 的边 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，ED 的延长 线交 AB 于点 F，求 EDEF。分析： 思路一：过 C 作 AB 的平行线交 DE 于 G，由 D 是 AC 的中点可得 FD=DG，由 CE=BC 可得 FG=GE，从而得 EDEF=34。 思路二：过 D 作 BE 的平行线交 AB 于 I，类似法一得 IDBC=12，IDBE=14，从而得 EDEF=34。 思路三：过 D 作 AB 的平行线交 BE 于 H，易得 BH=HC=1/4BE，得 EDEF=34。说明：本题三种思路所添加的三条平行线，均是为了充
2、分利用“D 是ABC 的边 AC 的中点”这一条件，使本来感觉比较薄弱的一个条件，在平行线的作用 下变得内涵丰富，既有另外一边的中点出现，又可以利用三角形的中位线定理， 这样使用起来就更加得心应手。构造图形，补题设（已知）的不足有时必须添加一些图形，使题设条件能 充分显示出来，从而为定理的应用创造条件，或者使不能直接证得的结论转化 为与它等价的另一个结论，便于思考与证明。例题 2已知：O 是正方形 ABCD 内一点，OBC=OCB=15求证：AOB 是等边三角 形。分析：（如图 2）构建三角形 OMC。使 DHOC 于 H，则2=15作DCM=15则 DMCBOC 且MCO=60DM=MC=O
3、C=OMDMO=360-60-150=1501=MOD=15从而有DOC=DCO=75，DO=DC=AD=AB=AO说明：本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形， 然后借助构造出的图形解答题目。把分散的几何元素聚集起来有些几何题，条件与结论比较分散。通过添加适当的辅助线，将图形中分 散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上，使他们相对集中、便于比较、建 立关系，从而找出问题的解决途径。例题 3如图 8，ABC 中，B=2C，且A 的平分线为 AD，问 AB 与 BD 的和等于 AC 吗？思路一：如图 9，在长线段 AC 上截取 AE=AB，由ABDAED 推出 BD=DE，从而只需证 EC=DE。思路二：如图 10，延长短线段 AB 至点 E，使 AE=AC，因而只需证 BE=BD， 由AEDACD 及B=2C，可证E=BDE，从而有 BE=BD。思路三：如图 10，延长 AB 至 E，使 BE=BD，连接 ED，由 ABD=2C，ABD=2E，可证AEDACD，可得 AE=AC，即 AC=AB BD。说明：这道例题就是利用辅助线，把本来不在一条直线的线段 AB 与 BD 聚 集到一条直线上来，这样就可以轻松得到 AB BD 或者 ACAB，然后题目就迎刃 而解了。
