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1、1周六辅导材料周六辅导材料1.（2012荆门）荆门）如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， 顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连接 AB、AE、BE已知tanCBE= ，A（3，0） ，D（1，0） ，E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标； （2）求证：CB 是ABE 外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，若 存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0t3）时，AOE 与AB
2、E 重叠部分的 面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为 y=a（x3） （x+1） 将 E（0，3）代入上式，解得：a=1y=x2+2x+3则点 B（1，4） （2）证明：如图 1，过点 B 作 BMy 于点 M，则 M（0，4） 在 RtAOE 中，OA=OE=3，1=2=45，AE=3在 RtEMB 中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，BE=BEA=1801MEB=90AB 是ABE 外接圆的直径在 RtABE 中，tanBAE= =tanCBE，BAE=CBE 在 RtABE 中，BAE+3=90，CB
3、E+3=902CBA=90，即 CBAB CB 是ABE 外接圆的切线（3）解：RtABE 中，AEB=90，tanBAE= ，sinBAE=，cosBAE=；若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，则DEP 必为直角三角形；DE 为斜边时，P1在 x 轴上，此时 P1与 O 重合；由 D（1，0） 、E（0，3） ，得 OD=1、OE=3，即 tanDEO= =tanBAE，即DEO=BAE满足DEOBAE 的条件，因此 O 点是符合条件的 P1点，坐标为（0，0） DE 为短直角边时，P2在 x 轴上； 若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，则DEP2=AEB=90，si
4、nDP2E=sinBAE=；而 DE=，则 DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9即：P2（9，0） ； DE 为长直角边时，点 P3在 y 轴上； 若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，则EDP3=AEB=90，cosDEP3=cosBAE=；则 EP3=DEcosDEP3=，OP3=EP3OE= ；综上，得：P1（0，0） ，P2（9，0） ，P3（0， ） （4）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b将 A（3，0） ，B（1，4）代入，得，解得y=2x+6过点 E 作射线 EFx 轴交 AB 于点 F，当 y=3 时，得x= ，F（ ，3） 情况一：如图
5、 2，当 0t 时，设AOE 平移到GNM 的位置，MG 交 AB 于点 H，MN 交 AE 于点 S 则 ON=AG=t，过点 H 作 LKx 轴于点 K，交 EF 于点 L3由AHGFHM，得，即解得 HK=2tS阴=SMNGSSNASHAG= 33 （3t）2 t2t= t2+3t情况二：如图 3，当 t3 时，设AOE 平移到PQR 的位置，PQ 交 AB 于点 I，交 AE 于点 V由IQAIPF，得即，解得 IQ=2（3t） S阴= IVAQ= （3t）2= t23t+ 综上所述：s=2.（2012济南）济南）如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（3，0）
6、 ，B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C，O1为ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求 cosCAB 的值和O1的半径； （3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M 为弦 BD 中点，若点 N 在坐标平 面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标4解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，解得 a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3， 令 x=0，得 y=3， C（0，3） ， OC=OA=3，则
7、AOC 为等腰直角三角形， CAB=45，cosCAB=在 RtBOC 中，由勾股定理得：BC=如答图 1 所示，连接 O1B、O1C， 由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90， BO1C 为等腰直角三角形，O1的半径 O1B=BC=（3）抛物线 y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点 P 坐标为（2，1） ，对称轴为 x=2又A（3，0） ，B（1，0） ，可知点 A、B 关于对称轴 x=2 对称如答图 2 所示，由圆及抛物线的对称性可知：点 D、点 C（0，3）关于对称轴对称，D（4，3） 又点 M 为 BD 中点，B（1，0） ，M（， ） ，BM=；在BPC 中，B（1，0） ，P
8、（2，1） ，C（0，3） ，5由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC= BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设 N（x，y） ，由两点间的距离公式可得：，解之得，点 N 的坐标为（ ，）或（ ，） 3.（2012衢州）衢州）如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系 中，使直角边 OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x
9、 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 （3）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合） ，AOB 在平 移过程中与COD 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最 大值；若不存在，请说明理由解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，6可得 c=0，解得 a=，b= ，抛物线解析式为 y=x2+ x（2）设点 P 的横坐标为 t，PNCD，OPNOCD，可得 PN=P（t， ） ，点 M 在抛物线上，M（t，t2+ t
10、） 如解答图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2（t2+ t）= t2 t+2，BH=PN= 当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形， t2 t+2= ，化简得 3t28t+4=0，解得 t1=2（不合题意，舍去） ，t2= ，点 P 的坐标为（ ， ）存在点 P（ ， ） ，使得四边形 ABPM 为等腰梯形（3）如解答图 2，AOB 沿 AC 方向平移至AOB，AB交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，AO交 x 轴于 K，交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为 yAC=x+3，可设点 A的横坐标为 a，则点 A（a，a+3） ，
11、易知OQTOCD，可得 QT= ，点 Q 的坐标为（a， ） 解法一： 设 AB 与 OC 相交于点 J， ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT= AT= （3a） ，AQ=yAyQ=（a+3） =3 a7S四边形 RKTQ=SAKTSARQ= KTAT AQHT= （3a） （3 a）（a+2）=a2+ a =（a ）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H，则由ORHOCD，得 由RKHAOB，得 由，得 KH= OH，OK= OH，KT=OTOK=a OH 由AKTA
12、OB，得，则 KT= 由，得=a OH，即 OH=2a2，RH=a1，所以点 R 的坐标为 R（2a2，a1）S四边形 RKTQ=SQOTSROK= OTQT OKRH= a a （1+ a ）（a1）=a2+ a =（a ）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB= ，8KT=ATtanOAB=（a+3） =a+ ，OK=OTKT=a（a+ ）= a ，过点 R 作 RHx 轴于H，tanOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH= ，2RH=OK+KH= a
13、 + RH，RH=a1，OH=2（a1） ，点 R 坐标 R（2a2，a1）S四边形 RKTQ=SAKTSARQ= KTAT AQ（xQxR）= （3a） （3 a）（a+2）=a2+ a =（a ）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 4.（2012威海）威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 B（2，1） ，且过点 A（0，2） ，直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧） ， 抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EFx 轴，垂足为点 F，点 P 在抛
14、物线 上，且位于对称轴的右侧，PMx 轴，垂足为点 M，PCM 为等边三角形（1）求该抛物线的表达式； （2）求点 P 的坐标； （3）试判断 CE 与 EF 是否相等，并说明理由； （4）连接 PE，在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N，使CMN 与CPE 全等？若存在， 试求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由9解答：解：（1）设抛物线的表达式为 y=a（x2）2+1，将点 A（0，2）代入，得a（02）2+1=21 分解这个方程，得 a=抛物线的表达式为 y= （x2）2+1= x2x+2；2 分（2）将 x=2 代入 y=x，得 y=2 点 C 的坐标为（2，2）即 CG=23 分 PCM 为等边三角形 CMP=60，CM=PM PMx 轴，CMG=30 CM=4，GM=2 OM=2+2，PM=44 分将 y=4 代入 y= （x2）2+1，得 4= （x2）2+1解这个方程，得 x1=2=OM，x2=220（不合题意，舍去） 点 P 的坐标为（2+2，4）5 分（3）相等6 分把 y=x 代入 y= x2x+2，得 x= x2x+2解这个方程，得 x1=4+2，x2=422（不合题意，舍去）y=4+2=EF 点 E 的坐标为（4+2，4+2）OE=4+4又OC=8 分CE=OEOC=4+2CE=EF9
