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1、1轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系二、求轨迹的一般方法：1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补” 。2定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义） ，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点 Q(x，y)的运动而有规律的运动
2、，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x,y表示为 x,y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数） ，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动
3、点的轨迹方程。三、注意事项：1直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式 x=f(x,y), y=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。2要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。3求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。四、例题分析：（一） 、直接法题型：1、在平面直角坐标系 xOy中，点 )0 ,4(A、 ) ,1(B，动点 P满足 |6PBA求点 的轨迹C的方程2、 （2009 湖南）
4、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和，求点 P 的轨迹 C；3、 （2009 海南）已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1（1）求椭圆 的方程（2）若 P为椭圆 的动点， M为过 P且垂直于 x轴的直线上的点， OPeM（e 为椭圆 C 的离心率） ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。24、(2007 四川)已知 O 的方程是 x2+y2-2=0, O的方程是 x2+y2-8
5、x+10=0,由动点 P 向 O 和 O所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 .5 （2007 福建理）如图，已知点 (10)F， ，直线 :1lx， P为平面上的动点，过 P作直线的垂线，垂足为点 Q，且 QA求动点 的轨迹 C的方程；（二） 、定义法与几何法题型：1、已知动圆过定点 (0,2)F，且与定直线 :2Ly相切.求动圆圆心的轨迹 C的方程；2、一动圆与两圆 21xy和 2810xy都外切,则动圆圆心的轨迹为3、 ABC 中, A(0,-2), B(0,2), 且 CBA,成等差数列, 则 C 点的轨迹方程是 . 4、设 1F、 2是双曲线 24xy的两个焦点，Q 是双曲线上
6、的任意一点，从 1F引 2Q平分线的垂线，垂足是 P，求点 P 的轨迹方程5、已知 M是以点 C为圆心的圆 2(1)8xy上的动点，定点 (1,0)D.点 P在 M上，点 N在 C上，且满足 2,0DPN动点 N的轨迹为曲线 E.求曲线 的方程；Oyx1lF36、已知椭圆 )0(12bayx的左、右焦点分别是 F1（c，0） 、F 2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足 .|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 .0|,22TFP（）设 x为点 P 的横坐标，证明 xacP|1；（）求点 T 的轨迹 C 的方程；7、 （2007 北京文）如图，
7、矩形 ABCD的两条对角线相交于点(20)M， AB边所在直线的方程为 360xy点 (1)T， 在D边所在直线上（I）求 边所在直线的方程；（II）求矩形 外接圆的方程；（III）若动圆 P过点 (20)N， ，且与矩形 ABCD的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程8、如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿 AP、BP 运到 P 处，其中AP=100m，BP=150m，APB=60 0，问怎能样运才能最省工？（三） 、代入法题型：1.过椭圆 4x2+9y2=36 内一点 P(1,0)引动弦 AB,则 AB 的中点 M 的轨迹方程是( )2、若 A 点是圆(x-2)
8、2+(y-2)2=1 上的动点, 点 B(1,0), M 分 AB 的比为 2:1, 则 M 点的轨迹方程是 . F2F1QOPDTNOABCMxy42、 （2009 江西）已知点 10(,)Pxy为双曲线28xyb（ b为正常数）上任一点, 1F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为 A,连接 1并延长交 y轴于 2P，求线段 2的中点 的轨迹 E的方程;3、 （2006 上海文）已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(,0)F,右顶点为 (2,0)D,设点 1,2A.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 P是椭圆上的动点，求线段 P中点 M的轨迹方程；4
9、、如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为N。求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。5、已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于 x 轴，关于 y 轴，关于直线 y=x，关于直线 y=-x，关于直线 y=3 对称的曲线方程。（四） 、参数法题型：1、直线 12ayx与 x、 y 轴交点的中点的轨迹方程是 . O F1F2P1 AP2P52、 （2004 辽宁）设椭圆方程为 142yx，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点P 满足 )(1OBA，当 l 绕点 M 旋转时，求：动点 P 的轨迹方程；3、 （20
10、04 福建）如图，P 是抛物线 C：y= 21x2上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.（）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求 |SQT的取值范围.4、经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、C 两点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。5、 （2007 天津理）设椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 12FA，是椭圆上的一点，21AF，原点 O到直线 1AF的距离为 13O（）证明 2ab；（）设 1Q，
11、为椭圆上的两个动点， 12Q，过原点 作直线 12Q的垂线 OD，垂足为 ，求点D的轨迹方程66、 （ 2005 广 东 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 y=x2上 异 于 坐 标 原 点 O 的 两 不 同 动 点 A、 B 满 足AO BO（如图 4 所示）.（）求AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.（五） 、交轨法题型1、抛物线 )0(42pxy的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。 （考例 5）2、已知双曲线 12yx 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P(x1，y 1)， Q(x1，y 1)是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程；（2）若点 H(O， h)（ h1）的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1 l2，求 h 的值.xyOAB图 4
