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1、函数周期性、对称性函数周期性、对称性 知识要点知识要点 1、 函数关系式与图象的本质联系函数关系式与图象的本质联系 动点动点 的变化规律。的变化规律。 2、 函数的中心对称的本质：函数的中心对称的本质：动点动点 及其对称点及其对称点均在均在( , )x y(2,2)mxny 函数图象上。即函数图象上。即1212( ),( )(2)22(2),22yf xf xfmxnnyfmxxxyymn 从而即3、 函数的轴对称的本质：函数的轴对称的本质：动点动点 及其对称点及其对称点均在函数均在函数( , )x y(2, )mx y图象上。即图象上。即12 12( ),( )(2)(2),2yf xf x
2、fmxyfmxxxm yy 从而即4、 周期性的常见结论：周期性的常见结论：（1）()( )2f xaf xTa （2）1()2( )f xaTaf x（3）()1( )2f xaf xTa （4）1( )()21( )f xf xaTaf x 5、周期性与对称性的关系：、周期性与对称性的关系： （1）函数有两对称轴）函数有两对称轴,则周期则周期,xa xb2|Tab（2）函数有两对称中心）函数有两对称中心,则则( ,0),( ,0)ab周期周期2|Tab （3）函数有一条对称轴）函数有一条对称轴,有一个有一个,xm对称中心对称中心,则周期则周期 ( ,0),n4|Tmn5、函数图象变换的本质
3、：动点、函数图象变换的本质：动点的变的变( , )x y换换旧动点旧动点与新动点与新动点的等的等( , )x y( ,)x y式关系式关系（1）平移：）平移：=( )(2)yf xyf x( , )x y即原来的即原来的 是现在的是现在的，原来，原来(2,)xyx2x 小现在大，右移。小现在大，右移。（2）伸缩：）伸缩：( )()yf xyf ax( )( )yf xybf x（3）翻转：）翻转：( )()yf xyfx( )( )yf xyf x （4）折叠：）折叠：( )(|)yf xyfx( )|( )|yf xyf x例题分析研究：例题分析研究： 1、 判断函数周期性判断函数周期性（1
4、） 1,( )0,xf xx 为有理数为无理数（2）1、 函数函数是偶函数，且是偶函数，且时，时，) 1( xf1x 则当则当时，时，, 1)(2 xxf1x =_)(xf 1-1、函数、函数是奇函数，且是奇函数，且时，时，) 1( xf1x则当则当时，时，=_, 1)(2 xxf1x)(xf1-2、曲线、曲线关于点（关于点（2，1）的）的f xx( )log31 1 对称曲线解析式为对称曲线解析式为_ 2、已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，上的奇函数，且满足且满足 f（3x）f（3x） ，若，若时，时，f（x），则，则时时)30( ，xx2)3, 6(xf（x）2-1、已
5、知函数、已知函数满足满足( )()yf xxR ，且，且 时，时， (1)(1)f xf x 1,1x 则则与与的图像的交的图像的交2( )f xx( )yf x5logyx 点的个数为（点的个数为（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 2-2：设函数：设函数是定义在是定义在 R 上的奇函上的奇函)(xf 数，对于任意数，对于任意，.当当Rx)() 1(xfxf 时时的值是的值是10 x)5 . 5(,2)(fxxf则 _ 2-3：是是 R 上的以上的以 2 为周期的奇函数，为周期的奇函数，f x( )已知已知时，时，则，则x ()01，f xx( )log31 1在（在（1，2）上是（）上是
6、（ ）f x( )A、增函数且、增函数且 B、减函数且、减函数且f x( ) 0f x( ) 0 C、 减函数且减函数且 D、增函数且、增函数且f x( ) 0f x( ) 02-4、设、设 f(x)的定义域为的定义域为 x R 且且x ，k Z，且，且，如果，如果 f(x)为为2k)x(f1) 1x(f奇函数，当奇函数，当 0x 时，时，f(x)=3x. 21(1)求求 (2)当当)42005(fx2k+1(k Z)时，求时，求 f(x).21k2 2-5、 （广东卷）设函数（广东卷）设函数在在上满上满( )f x(,) 足足，且在，且在(2)(2)fxfx(7)(7)fxfx闭区间闭区间0
7、，7上，只有上，只有(1)(3)0ff（）试判断函数）试判断函数的奇偶性；的奇偶性；( )yf x2005上的根的个数，并证明你的结上的根的个数，并证明你的结 论论3、把函数、把函数的图象向左平移的图象向左平移2(2)2yx一个单位，再向上平移一个单位，所得一个单位，再向上平移一个单位，所得 图象对应的函数解析式为图象对应的函数解析式为_。3-1、把函数、把函数的图象上各点的图象上各点1 3log (1)yx的横坐标缩小为原来的的横坐标缩小为原来的 ，再向右平移，再向右平移21个单位，所得图象的解析式为个单位，所得图象的解析式为21_。 3-2、将、将 y的图象作其关于直线的图象作其关于直线3
8、log xyx 的对称图象后得到图象的对称图象后得到图象 C1，再作，再作 C1 关于关于 y 轴对称的图象后得到图象轴对称的图象后得到图象 C2，再将，再将 C2 的图象向右平移的图象向右平移 1 个单位个单位 得到图象得到图象 C3，最后再作，最后再作 C3 关于原点对关于原点对 称的图象得到称的图象得到 C4，则，则 C4 所对应的函数所对应的函数 的解析表达式是的解析表达式是_。3-3、函数为y=f(2x+1)偶函数,则函数y=f (2x-1)的一条对称轴方程为_4、函数、函数的图象大致是的图象大致是 （ ）xxy|lgA、 B、 C、 D、 4-1、函数、函数 y= 的图象是（的图象
9、是（ | ) 1lg(|x）4-2、 图中的曲线对应图中的曲线对应 的函数是的函数是 ( ) A、 B、 |x|siny|xsin|yC、 D、 |x|cosy|xcos| y 4-3、已知、已知 y=f(x)与与 y=g(x)的图象如图的图象如图 所示所示则函数则函数 F(x)=f(x)g(x)的图象可以是的图象可以是4-4、某校办企业、某校办企业 10 年中某种产品总产年中某种产品总产 量量 y 与时间与时间 x(年年)的函数关系如图的函数关系如图,有四有四 种说法种说法 前前 5 年中产量增长年中产量增长 速度越来越快速度越来越快 前前 5 年中产量增长年中产量增长 速度越来越慢速度越来
10、越慢 第第 5 年后年后,这种产品停止生产这种产品停止生产x)(xfy yOx)(xgy yOxyOAxyOBxyOCxyDO510xyo第第 5 年后年后,这种产品的年产量保持不这种产品的年产量保持不 变变. 其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是_图象的应用：图象的应用：1xxx 25、使不等式log成立的的取值范围是_5 1lgsinxx、方程的解的个数为 _52( ),(1)f xR2、是定义在上的函数,f (3-x)=f (-1+x), 当x-1,1时,f(x)=x求f(x)在2k-1,2k+1(kZ)上的解析式;(2)对自然数k,求a,使方程f(x)=ax在上有两不相等的实根.解题要点：解题要点： 1、 解析式知部分求整体：解析式知部分求整体： 动点动点代换法代换法( , )x y2、 已知解析式作函数草图：已知解析式作函数草图：奇偶性、定点、边界或渐近线、无穷奇偶性、定点、边界或渐近线、无穷 远（极限）远（极限） 、单调性、单调性
