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1、概率论与数理统计内容提要及习题详解 第 10 章 经典习题之一 第 70 页 共 14 页70经典习题经典习题古典概率部分古典概率部分1、设为随机事件，且。,A B0( ), ( )( )( )1P A P BP AP B若相互独立，则；,A B()( ) ( ),()( )( )( ) ( )P ABP A P BP ABP AP BP A P B若互斥，则；,A B()0,()( )( )P ABP ABP AP B若已知，则；( ), ( )P A P B( )( ) 1()min( ), ( )P AP BP ABP A P B 若已知，则( ), (), ()P A P B A P
2、A B，( ) ()()( ) ()( ) (),( )()P A P B AP ABP A P B AP B P A BP BP A B，( ) ()()( )()1()()P A P B AP BAP BP ABP A BP A B，()( )()( ) 1()P ABP AP ABP AP B A。 ( )()( )()1()()P AP ABP AP BAP B AP A B2、设为随机事件，且，证明:,A B0( ), ( )1P A P B.若，则独立；()()P B AP B A,A B.若，则。()( )P A BP A()( )P B AP B证明:由于，故0( ), ( )
3、1P A P B.若，则，()()P B AP B A()()( )()()()( )( )1( )P ABP ABP BP ABP B AP B AP AP AP A故，即独立；()( ) ( )P ABP A P B,A B.若，则，故()( )P A BP A()( ) ()( ) ( )P ABP B P A BP A P B。 ()( ) ( )()( )( )( )P ABP A P BP B AP BP AP A3、设，则。( )( )1P AP B()()P ABP AB证明:。()()1()1( )( )()()P ABP ABP ABP AP BP ABP AB 4、进行次
4、独立重复试验，每次试验中事件发生的概率都是，若发生次，则nA( )0P AAk发生的概率为，求发生的概率。B,0,1,.,kknB解: 用表示在次独立重复试验中事件发生次，则，故kAnAk()(1)kkn k knP AC。 00( )() ()(1)kkn k kknk k nk nP BP A P B AC 概率论与数理统计内容提要及习题详解 第 10 章 经典习题之一 第 71 页 共 14 页715、进行独立重复试验，直到事件发生为止，若每次试验中发生的概率都是，求AA( )0P A迟早要发生的概率。A解:用表示在第次试验中事件发生，表示迟早要发生，则，故kAkABA()0kP A，1
5、 121 11( )()(1)1k kk kkP BP A AAA 只要试验中发生的概率，则在独立重复试验中，迟早会发生。 A( )0P AA6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回3Nm地随机取个，其中为自然数，求所取的个小立方体中，个面上有颜色的个数恰n3,1mnnk为的概率。,0,1,2,3kx k 解: 以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为，则将其锯成个大小相同的小立方体，就是沿三组平面:0a 3Nm锯开，这样锯开后:, , ,1,2,.,1xia m yja m zka mi j km
6、只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有个)，位于原来立方体棱上的小立38m 方体之两面有色(出去顶点处的 8 个，共有个)，位于原来立方体表面的小立方体之212(2)mm两面有色(出去顶点处的 8 个及棱上个，共有个)，其余个是表面2m2 16(2)mm3 0(2)mm无色的，用表示任取的一个小立方体是 面有色的，则iAi，332333(2),06(2),1 () 12(2),28,3iiimmimmi pP Am N mmimi 若若若若故所取的个小立方体中，个面上有颜色的个数恰为的概率为:nk,0,1,2,3kx k ，0312012123123223 0123 3 01230
7、123!(2)32!( )!xxxxxxxxxxxxnn p p p pmnP Bxx xxmxx xx其中为整数，且。 01230,x x x xn0123xxxxn7、某种商品的商标应为“”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。MAXAM解:用表示脱落的字母为商标“”中第个字母(从左数起)，用表示ijAMAXAM, i j15ij B将脱落的字母放回后仍为“”,则MAXAM概率论与数理统计内容提要及习题详解 第 10 章 经典习题之一 第 72 页 共 14 页72，故2 511(),1510ijP AijC 1,( , )(1,5)(2,4)()1
8、2,( , )(1,5),(2,4)iji jP B Ai j若或若。 151113( )() ()21 80.6101025ijij ijP BP A P B A 8、设有个人，是其中的两人，在下列情形下，分别求之间恰有人的概率:4m , a b, a bk. 人排成一排；4m . 人排成一圈。4m 解:用表示试验的样本空间，表示所求的事件，则问题是古典概率问题。kA. 若人排成一排，则，而事件发生当且仅当“排在第 个位置，而排在第4m !m kAaib个位置”或“排在第 个位置，而排在第个位置” ，(1)ikbia(1)ik1,2,.,1imk故，从而之间恰有人的概率为:2(1)(2)!k
9、Amkm, a bk；2(1)(2)!2(1)(),02!(1)k kAmkmmkP Akmmm m. 若人排成一圈，则此时以所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第位，从4m a2,3,.,m而，而事件发生当且仅当“以所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，排(1)!m kAab在第个位置，或排在第个位置” ，故(1)k b(1)mk若为奇数，则，故213mn 2(2)!2(21)!,0,1,.,1kAmnkn；2(2)!21(),0,1,.,1(1)!1k kAmP Aknmmn若为偶数，则，故223mn2(2)!2(2 )!,0,1,.,1(2)!(2 )!,kmnkn A mnkn 若若
10、；2(2)!22,0,1,.,1(1)!121 () (2)!11,(1)!121k kmknmmnAP A mknmmn若若上述还可以统一表示为:2(2)!2,0,1,.,22(1)!1 () 3( 1)(2)!3( 1),212(1)!2(1)k kmmmkmmmAP A mkmmm 若若。 9、从双不同尺码的鞋子中随机地取只，求所取的鞋子中恰好有只能配成双鞋的概率(其中n2m2kk，且)。1mnmax 2, 0mnkm概率论与数理统计内容提要及习题详解 第 10 章 经典习题之一 第 73 页 共 14 页73解:用表示试验的样本空间，表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且A，故2
11、2m nC 2221 2222 22()()4kkmkmkkmkm k nn knn kACCCCC C 。 222 2( )4, max 0,2kmkm km nn knP AAC CCmnkm 10、设有个袋子，每个袋中装有种颜色的球，其中第 个袋中所含第种颜色的球数为1m 1n ij，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机10,1,1,2,.,1,2,.,ijij j naaimjn 且地取一球，求所取的球是第种颜色的概率。j解:用表示选袋子时，选到的是第 个袋子，表示最后取到的是第种颜色的球，并记iAijBj，则，12iiiinNaaa1(),(),1,2,.,1,2,.,ij ij
12、i iaP AP BAimjnmN在由全概率公式得。 111()() (),1,2,.,ij jiji i mi miaP BP A P BAjnmN 11、工厂检查产品质量时，对每批产品进行放回抽样检查，如果在抽取到件时发现次品，k()kn则立即停止检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的件都合格，则也停止检查，并认为n这批产品合格。若某产品的次品率为，求这批产品抽检的样品数为的概率。01pk解:用表示抽检的第件样品合格，表示这批产品抽检的样品数，则kAkX。 1 121121121()(1),1,2,.,1 () ()(1),k kkn nnnnP A AAAppkn P Xk P A
13、AAAA AAApkn 若若12、为了估计某湖中鱼的数量，捕捉了条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕1000M 捉了条鱼，结果发现有是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大?150n 10m 解:设湖中有条鱼，其中做了标记的有条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的N1000M 条鱼中有条做了标记的鱼的概率为:150n 10m ，由于()( ),1140mn m MN M n NC Cf NP ANMnmC ，11()()()115000(1)()n mn m N MNM nn NNf NNn NMnMCCNCCf NN NMnmm 故时，是单调递增的，而时114015000MnmNnM m()f N15000NnM m是单调递减的，从而的最大值点为，故湖中有条鱼的可能性最大。 ()f N15000N 1500013、设袋中有只白球，只黑球，现丢失一只球，但不知其颜色，为了确定其颜色，从袋中随机地ab取球，发现其中有只白球，其余为黑球，问丢失的那只球最有可能是什么颜色?nk概率论与数理统计内容提要及习题详解 第 10 章 经典习题之一 第 74 页 共 14 页74解:用表示丢失的那只球是白球，表
