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1、 1数列求和数列求和一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：dnnnaaanSn n2) 1( 2)(11 ) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqna Snn n例 1 已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解：由212loglog3log1log33 23xxx由等比数列求和公式得： = 1n nxxxxS 32 xxxn 1)1 (211)211 (21nn21例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.1)32()(nn SnSnf解：由等差数列求和公式得 ， ) 1(21nnSn)2)
2、(1(21nnSn 当 ，即1)32()(nn SnSnf64342nnnnn6434150)8(12 nn50188nn8 时，501)(maxnf二、错位相减法求和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和：132) 12(7531 n nxnxxxS解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设1) 12(nxn1nx（设制错位）n nxnxxxxxS) 12(7531432 得 （错位相nn nxnxxxxxSx) 12(222
3、221)1 (1432 2减）再利用等比数列的求和公式得：。 nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (1 21)1 ()1 () 12() 12( xxxnxnSnnn例 4 求数列前 n 项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比 ,22,26,24,2232nnnn 22数列的通项之积n21设nnnS22 26 24 2232 得143222 26 24 22 21 nnnS 143222 22 22 22 22 22)211 ( nnnnS1122 212nnn1224nnnS三、倒序相加法求和三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个
4、数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个.)(1naa 例 6 求的值ooooo89sin88sin3sin2sin1sin22222 解：设. ooooo89sin88sin3sin2sin1sin22222 S将式右边反序得： ooooo1sin2sin3sin88sin89sin22222 S又因为 ，+得 ： 1cossin),90cos(sin22xxxxo89 S44.5)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222oooooo S四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可
5、分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和：，231, 71, 41, 1112 naaan解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741 ()1111 (12 naaaSnn3当 a1 时，（分组求和）当时，2) 13(nnnSn2) 13(nn 1a2) 13( 1111nnaaSnn 2) 13( 11nn aaan例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkkkkkak2332) 12)(1( nknkkkS1) 12)(1()32(231kkknk 将
6、其每一项拆开再重新组合得： Sn kkknknknk 1213132)21 ()21 ( 3)21 ( 2222333nnn = 2) 1( 2) 12)(1( 2) 1(22nnnnnnn 2)2() 1(2nnn五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） )() 1(nfnfan（2）oo ooo nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin（3） （4）111 ) 1(1 nnnnan)121 121(211) 12)(12(
7、)2(2nnnnnan（5）)2)(1(1 ) 1(121 )2)(1(1 nnnnnnnannnnnnnnnSnnnnnn nnna2) 1(11,2) 1(1 21 21 ) 1() 1(2 21 ) 1(21则例 9 求数列的前 n 项和. ,11,321,211nn4解：设，则 nnnnan11111321211 nnSn)1()23()12(nn 11n例 10 在数列an中，又，求数列bn的前 n 项112 11 nn nnan12nnnaab的和.解： 数列bn2112 11n nn nnan )111(821 22 nnnnbn的前 n 项和： )111()41 31()31
8、21()211(8 nnSn)111 (8n18 nn例 11 求证：oooooooo1sin1cos 89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos12 解：设oooooo89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos1 S oo ooo nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sinoooooo89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos1 S88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1oooooooo o 原等式成立)0tan89(tan1sin1oo oo o1cot1sin1oo1si
9、n1cos2例. 计算： 六、合并法求和六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ 5cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(cosooonnSn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合并求和）例 13 数列an：，求 S2002.nnnaa
10、aaaa12321, 2, 3, 1解：设 S2002，由可得2002321aaaa nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa 2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa S2002= 2002321aaaa )()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa=2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa5463626
11、16kkkkaaaa例 14 在各项均为正数的等比数列中，若的值。103231365logloglog, 9aaaaa 求解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 和对数的运算性质 qpnmaaaaqpnm得：NMNMaaalogloglog)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn 10)(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9log9log9log333 七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的
12、前 n 项和，是一个重要的方法.例 15 求之和.解：由于 321 11111111111个n ) 110(91999991111111 kkk4 34 21321 个个6 321 11111111111个n ) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1111 (91)10101010(91132144 344 21 个nn 9110) 110(10 91nn )91010(8111nn例 16 已知数列an：的值.11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求解： )4)(2(1 )3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn ) 4)(3(1) 4)(2(18nnnn)41 31(8)41 21(4nnnn
