抛物线与四边形答案

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1、抛物线与四边形抛物线与四边形答案与评分标准答案与评分标准 一、一、 （共（共 12 小题）小题）1、 （2010益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A（2，0） ，B（6，0） ，C（0，3） （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）过 C 点作 CD 平行于 x 轴交抛物线于点 D，写出 D 点的坐标，并求 AD、BC 的交点 E 的坐标； （3）若抛物线的顶点为 P，连接 PC、PD，判断四边形 CEDP 的形状，并说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）由 A、B、C 三点的坐标适合抛物线的解析式，从而用待定系数法求出抛

2、物线 的解析式； （2）联立直线 AD、BC 的解析式，求出交点 E 的坐标； （3）四边形 CEDP 为菱形，可根据 P、C、E、D 四点的坐标，证四边形 CEDP 的对角线互相 垂直平分 解答：解：（1）由于抛物线经过点 C（0，3） ，可设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3（a0） ，则， 解得；42 + 3 = 0 36 + 6 + 3 = 0? =14 = 1?抛物线的解析式为 （4 分） =142+ + 3（2）D 的坐标为 D（4，3） ， （5 分）直线 AD 的解析式为， 直线 BC 的解析式为， =1 2 + 1 =12 + 3由求得交点 E 的坐标为（2，2） （8

3、分） =1 2 + 1 =12 + 3?（3）连接 PE 交 CD 于 F，P 的坐标为（2，4） ， 又E（2，2） ，C（0，3） ，D（4，3） ， PF=EF=1，CF=FD=2，且 CDPE，四边形 CEDP 是菱形 （12 分） 点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形的判定方法， 难度不大，细心求解即可2、 （2010泰州）如图，抛物线 y=x2+c 与 x 轴交于点 A、B，且经过点 D（）1 23，9 2（1）求 c； （2）若点 C 为抛物线上一点，且直线 AC 把四边形 ABCD 分成面积相等的两部分，试说明 AC 平分 BD，且求出直线 AC

4、 的解析式；（3）x 轴上方的抛物线 y=x2+c 上是否存在两点 P、Q，满足 RtAQP 全等于 RtABP，若1 2存在求出 P、Q 两点，若不存在，说明理由解答：解：（1）抛物线经过 D（） ，则有：3+c=，解得 c=6；3，9 21 29 2（2）设 AC 与 BD 的交点为 E，过 D 作 DMAC 于 M，过 B 作 BNAC 于 N；SADC=SACB，ACDM=ACBN，即 DM=BN；CEDM=CEBN，1 21 21 21 2即 SCED=SBEC（*） ；设BCD 中，BD 边上的高为 h，由（*）得：DEh=BEh，即 BE=DE，故 AC 平分 BD；121 2易

5、知：A（2，0） ，B（2，0） ，D（，） ，3339 2由于 E 是 BD 的中点，则 E（，） ；3 29 4设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则有：， 解得；2 3 + = 0 3 2 + =9 4? =3 3 10 =9 5?直线 AC 的解析式为 y=x+；3 3 109 5（3）由于 P、Q 都在 x 轴上方的抛物线上，若APB 是直角三角形，则APB=90； 若 RtAQP 全等于 RtABP，则 AB=AQ，APQ=APB，即 B、P、Q 三点共线； 显然一条直线不可能与一个抛物线有 3 个交点， 故不存在符号条件的 P、Q 点点评：此题主要考查了一次函数与二次函数解析

6、式的确定、三角形面积的求法、以及全等 三角形和直角三角形的判定和性质3、 （2010沈阳）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+1 与 x 轴正半轴交于点 F（16，0） ，与 y 轴正半轴交于点 E（0，16） ，边长为 16 的正方形 ABCD 的顶点 D 与原点 O 重合，顶点 A 与点 E 重合，顶点 C 与点 F 重合 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，若正方形 ABCD 在平面内运动，并且边 BC 所 在的直线始终与 x 轴垂直，抛物线始终与边 AB 交于点 P 且 同时与边 CD 交于点 Q（运动时，点 P 不与 A，B 两点重合， 点 Q 不与 C，D

7、两点重合） 设点 A 的坐标为（m，n） （m0） 当 PO=PF 时，分别求出点 P 和点 Q 的坐标； 在的基础上，当正方形 ABCD 左右平移时，请直接写 出 m 的取值范围； 当 n=7 时，是否存在 m 的值使点 P 为 AB 边的中点，若 存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）将 F 点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，由此确定该抛 物线的解析式； （2）若 PO=PF，那么 P 点位于 OF 的垂直平分线上，此时 P 点的横坐标是 F 点横坐标的 一半；将其代入抛物线的解析式中，即可求出 P 点的坐标；易知

8、正方形的边长为 16，根据 P 点的坐标即可确定 Q 点的纵坐标，进而可由抛物线的解析式确定 Q 点的坐标；在中，求得 A（8，12） ，Q（8，4） ；当 P、A 重合时，m=8；当 Q、C 重合时，5m=816；由于 P、A，Q、C 都不重合，所以 m 的取值范围应该是 816m8；55当 n=7 时，P 点的纵坐标为 7，Q 点的纵坐标为9，根据抛物线的解析式可确定 P、Q 的坐标；假设 P 是 AB 的中点，根据这个条件可确定 A、B、C、D 四点的坐标，然后判断 P、Q 是否与这四点重合，若重合则与已知矛盾，那么就不存在符合条件的 m 值，若不重 合，所得 A 点的横坐标即为所求的

9、m 值解答：解：（1）由抛物线 y=ax2+c 经过点 E（0，16） ，F（16，0）得：, 解得， （3 分） = 162 + 16 = ? =1 16 = 16? （4 分） =1 162+ 16（2）过点 P 做 PGx 轴于点 G， PO=PF， OG=FG， F（16，0） ， OF=16，OG=，OF=16=8，1 21 2即 P 点的横坐标为 8， P 点在抛物线上， m0，y=，1 16 82+ 16 = 12即 P 点的纵坐标为 12， P（8，12） ， （6 分） P 点的纵坐标为 12，正方 ABCD 边长是 16，Q 点的纵坐标为4，Q 点在抛物线上，4 =1 16

10、2+ 16，1= 8 5，2=8 5m0，2=8 5（舍去） = 8 5 （8 分）（8 5，4）816m8 （10 分）5不存在 （11 分） 理由：当 n=7 时，则 P 点的纵坐标为 7，P 点在抛物线上， x1=12，x2=12，7 =1 162+ 16m0x2=12（舍去）x=12,P 点坐标为（12，7）P 为 AB 中点， =1 2 = 8点 A 的坐标是（4，7） ，m=4， （12 分） 又正方形 ABCD 边长是 16，点 B 的坐标是（20，7） ，点 C 的坐标是（20，9） ，点 Q 的纵坐标为9，Q 点在抛物线上，9 =1 162+ 16x1=20，x2=20，m0

11、，x2=20（舍去）x=20，Q 点坐标（20，9） ，点 Q 与点 C 重合，这与已知点 Q 不与点 C 重合矛盾， 当 n=7 时，不存在这样的 m 值使 P 为 AB 的边的中点 （14 分）点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有二次函数解析式的确定、正方形的性质、 等腰三角形的性质等，综合性较强，难度较大4、 （2010南宁）如图，把抛物线 y=x2（虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得出抛物线 l1，抛物线 l2与抛物线 l1关于 y 轴对称点 A，O，B 分别是抛 物线 l1l2与 x 轴的交点，D，C 分别是抛物线 l1，l2的顶点，线段 CD

12、交 y 轴于点 E （1）分别写出抛物线 l1与 l2的解析式； （2）设 P 使抛物线 l1上与 D，O 两点不重合的任意一点，Q 点是 P 点关于 y 轴的对称点， 试判断以 P，Q，C，D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由（3）在抛物线 l1上是否存在点 M，使得 SABM=S四边形 AOED，如果存在，求出 M 点的坐标； 如果不存在，请说明理由解答：解：（1）l1：y=（x1）2+1（或 y=x2+2x） ， （1 分）l2：y=（x+1）2+1（或 y=x22x） ；（2 分）（2）以 P，Q，C，D 为顶点的四边形为矩形或等腰梯形， （3 分） 理由：点 C 与点 D

13、，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称， CDPQx 轴当 P 点是 l2的对称轴与 l1的交点时，点 P，Q 的坐标分别为（1，3）和（1，3） ，而点C，D 的坐标分别为（1，1）和（1，1） ，所以，CD=PQ，CPCD，四边形 CPQD 是矩形；（4 分）当 P 点不是 l2的对称轴与 l1的交点时，根据轴对称性质， 有：CP=DQ（或 CQ=DPS） ，但 CDPQ， 四边形 CPQD（四边形 CQPD）是等腰梯形 （5 分） （3）存在，设满足条件的 M 点坐标为（x，y） ，连接 MA，MB，AD，依题意得：A（2，0） ，B（2，0） ，E（0，1） ， （6 分）梯形=（1 +

14、 2） 1 2=3 2当 y0 时， （7 分） =1 2 4 =3 2 =3 4将 y=， （8 分）3 4代入1的解析式，解得：1=3 2，2=1 21（32，34），2（12，34）当 y0 时， （9 分） =1 2 4 （） =3 2 =34，将 =34代入1的解析式，解得 = 1 7 2 （10 分）3（2 + 7234），4（272，3 4）点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、等腰梯形及矩形的判定、图 形面积的求法等知识的综合应用能力5、 （2010眉山）如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B

15、 两点的坐标分别为（3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y=+bx+c 经过2 32B 点，且顶点在直线 x=上5 2（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若DCE 是由ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大 值时，点 M 的坐标考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）已知了抛物线上 A、B 点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求 出抛物线的解析式 （2）首先求出 AB 的长，将 A、B 的坐标向右平移 AB 个单位，即可得出 C、D 的坐标，再 代入抛物线的解析式中进行验证即可