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1、内蒙古师范大学数学科学学院数学与应用数学专业毕业论文题目内蒙古师范大学数学科学学院数学与应用数学专业毕业论文题目 指导教师：指导教师： 韩刚韩刚一、数学分析一、数学分析 1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系 2. . 一元函数及多元函数的差异和统一一元函数及多元函数的差异和统一: 探讨一元函数及多元函数在邻域定义、极限连续性、可微性等方面的差异并在某种条件下将两者统一起来 3.求极值的若干方法求极值的若干方法 4. .关于极值与最大值问题关于极值与最大值问题 5.求函数极值应注意的几个问题求函数极值应注意的几个问题 6. 证明积分不等式的若干方法
2、：证明积分不等式的若干方法：1） 利用黎曼积分性质证明积分不等式. 2） 利用多重积分正定性质证明单积分的不等式.3）利用 Jensen 不等式证明积分不等式.4） 通过有穷不等式,经极限运算转化.5）利用凸函数性质证明积分不等式.6）其它方法. 7.导数的运用导数的运用 8.泰勒公式的几种证明法及其应用：泰勒公式的几种证明法及其应用：论述泰勒定理在不等式的证明，行列式的计算，定积分的计算和金融数学债券定价中的应用。 9.利用一元函数微分性质证明超越不等式利用一元函数微分性质证明超越不等式 10. .利用柯西利用柯西施瓦兹不等式求极值施瓦兹不等式求极值 11.函数列的各种收敛性及其相互关系函数
3、列的各种收敛性及其相互关系 12.复合函数的连续性初探复合函数的连续性初探 13.关于集合的映射、等价关系与分类关于集合的映射、等价关系与分类 14. 介值定理及其应用：介值定理及其应用：1. 满足介值定理的函数构造方法讨论.2. 利用介值定理讨论根的存在性.3. 利用介值定理求数列极限.4. 利用介值定理证明不等式.5. 利用介值定理证明数列的单调性.6. 其它应用 15. 积分函数的极限问题：积分函数的极限问题：主要讨论可变上限定积分,含参变量积分所定义的函数的极限问题.讨论了1. 利用辅助函数法求极限.2. 黎曼引理,利用黎曼引理求极限.3. 黎曼引理的推广,利用推广的黎曼引理求极限.4
4、. 利用迫敛性定理求极限.5. 利用积分中值定理求极限.6. 其它方法 16关于积分中值定理的推广和关于积分中值定理的推广和“中间点中间点”的渐近性研究的渐近性研究 17. 广义广义 Lagrange 中值定理的中值定理的“中间点中间点”的渐近性研究的渐近性研究 LagrangeLagrange 中值定理：若函数中值定理：若函数 在区间在区间 上连续，在上连续，在 内内 可导，则存在可导，则存在 ，使得，使得因为因为 LagrangeLagrange 中值定理是连接函数与导数的桥梁，在分析理论研究和应用中有中值定理是连接函数与导数的桥梁，在分析理论研究和应用中有 着十分广泛的应用。着十分广泛的
5、应用。 本文的工作目标是：本文的工作目标是： （1 1）将函数）将函数 在在 内的可导条件减弱成为内的可导条件减弱成为 在在 内内 的任意点的任意点 的左、右导数都存在，得到一个包含的左、右导数都存在，得到一个包含 LagrangeLagrange 中值定理的更一中值定理的更一 般的结论。般的结论。 （2 2）在第（）在第（1 1）工作目标的基础上，进一步讨论中间点的渐近性问题。并将一）工作目标的基础上，进一步讨论中间点的渐近性问题。并将一 般条件下的般条件下的 LagrangeLagrange 中值定理的中值定理的“中间点中间点”的渐近性问题和已有的一些结论推的渐近性问题和已有的一些结论推
6、广到（广到（1 1）中所获得的）中所获得的“广义广义 LagrangeLagrange 中值定理中值定理”上去。上去。 18. 利用导数证明不等式：利用导数证明不等式：导数是高等数学里一个很重要的基本概念，其应用相当广泛。本文主要利用与导数相关的 中值定理、泰勒公式、单调性和最值、凹凸性等证明一些不等式。 19. 等价无穷小代换的推广与应用：等价无穷小代换的推广与应用：用等价无穷小量作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的重要方法.论文要求推广相关 文献的结果,同时要求给出这些结果的证明和应用.从而为计算极限提供. 20. 凸函数的几个等价定义凸函数的几个等价定义 21.关于隶属函数的一些思考
7、关于隶属函数的一些思考 22.22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题多元复合函数微分之难点及其注意的问题 23.23. 利用泰勒展式求函数极限利用泰勒展式求函数极限 24.24.定积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用 25. Gamma 函数和函数和 Beta 函数的性质及应用函数的性质及应用 26. 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度1.讲清物理背景 2阐明内在联系 3论证主要性质27.27.谈微分中值公式的应用谈微分中值公式的应用 28.28.求极限的若干方法点滴求极限的若干方法点滴 29.29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系 30.3
8、0.不定积分中的辅助积分法点滴不定积分中的辅助积分法点滴 31.31. 对称性与积分计算研究对称性与积分计算研究 32. 用微积分理论证明不等式的若干方法用微积分理论证明不等式的若干方法 33. 级数收敛性判别法的方法研究级数收敛性判别法的方法研究 34. 数列与函数的上、下极限及其应用数列与函数的上、下极限及其应用 35. 与连续性相关的多个概念联系与应用与连续性相关的多个概念联系与应用 36. 仿照一元函数的凹凸性定义并研究多元函数的凹凸性仿照一元函数的凹凸性定义并研究多元函数的凹凸性 f x, a b, a b , a b f bf afba f x, a b f x, a b x37.
9、 讨论上讨论上(下下)半连续函数半连续函数,左左(右右)连续函数的性质连续函数的性质 38. 微分中值定理的证明及应用微分中值定理的证明及应用 39. 多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系 40.40. 几个函数一致连续的充要条件几个函数一致连续的充要条件 41.41. 利用级数求极限利用级数求极限 42.42. 一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分）一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分） 43. 有界非连续函数可积的条件有界非连续函数可积的条件 44. 正项级数收敛的判别方法正项级数收敛的判别方法 45. Riemann 可
10、积条件探究可积条件探究 46. 构造函数法在数学分析中的应用构造函数法在数学分析中的应用 47. Riemann 积分的一般定义性质（将各种积分给出积分的一般定义性质（将各种积分给出 Riemann 积分的统一定义，积分的统一定义， 可参考可参考数学分析学习指导书（下册）数学分析学习指导书（下册） 吴良森等编。吴良森等编。 ） 48.48. 探讨函数弱可微、可微、强可微之间的关系探讨函数弱可微、可微、强可微之间的关系 49. 试论导函数、原函数的有关性质试论导函数、原函数的有关性质 要求：1. 论述导函数没有第一类间断点 2原函数存在与可积性 3原函数存在定理及应用 50.50. 关于关于 s
11、tieltjes 导数的一些性质导数的一些性质 51.51. 浅淡二重积分积分中值定理的推广与应用浅淡二重积分积分中值定理的推广与应用 52.52. 关于关于 CauchyCauchy 积分中值定理的逆问题及中间点的渐进性积分中值定理的逆问题及中间点的渐进性 53.53. 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 54. 微分、导数在经济管理中的应用微分、导数在经济管理中的应用二、实变函数二、实变函数 1. 可测函数的等价定义 2. 康托分集的几个性质 3.可测函数的收敛性 4.用聚点原理推证其它实数基本定理 5.可测函数的性质及其结构 6.凸函数性质点滴 7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用 8.谈反函数的可测性 9.Lebesgue 积分与黎曼广义积分关系点滴 10.试用 Lebesgue 积分理论叙达黎曼积分的条件 11.再谈 CANTOR 集 12. Lebesgue 积分定义的等价性证明。13几 种 收 敛 之 间 的 关 系1 4 .浅 谈 无 穷 集 合 15. 函数 可 积性的 研 究
