《167;2.3随机变量的分布函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《167;2.3随机变量的分布函数（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于连续型的随机变量，由于它的可对于连续型的随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因此就能取值不能一个一个地列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样可以用分布律不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，对于连续型的随机变量来描述它。另外，对于连续型的随机变量X取某一值的概率为零，因此对于连续型取某一值的概率为零，因此对于连续型的随机变量，我们主要研究它的值落在某的随机变量，我们主要研究它的值落在某一区间的概率，一区间的概率， 即即Px1 Xx2=PXx2PXx1为此我们引进了分布函数的概念为此我们引进了分布函数的概念. .1为
2、为X的的分布函数分布函数.设设X 为随机变量为随机变量,x 是任意实数是任意实数,称函数称函数定义定义由定义知由定义知X 落在区间落在区间( a ,b 里的概率里的概率可用分布函数来计算：可用分布函数来计算：（ab （可以看出可以看出: :分布函数分布函数 F (x) 是普通函数是普通函数, ,即即x x是自变量是自变量, ,函数的值均为实数函数的值均为实数, ,通过它可以用通过它可以用数学分析的方法研究随机变量数学分析的方法研究随机变量. .2分布函数的性质分布函数的性质q F (x )单调不减，即单调不减，即q 且且q F (x )右连续，即右连续，即可以证明可以证明: :若定义在实数域上
3、的函数若定义在实数域上的函数 F (x)满足上述三条性质，则它必是满足上述三条性质，则它必是随机变量的分随机变量的分布函数布函数. .3例例145请请填填空空用分布函数表示概率用分布函数表示概率6解解 由定义由定义当当 时时, ,当当 时时，例例2 2求求 。当当 时时， 故故当当 时时，离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数7故故下面我们从图形上来看一看。下面我们从图形上来看一看。注意右连续注意右连续不难看出，不难看出， 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形，在在 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于8分布函数图分布函数图概率函数图概率函数图9解解例1 例例3
4、设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.令 X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数.1001234xx kpk 0 1 2 3 40.60.40.6 0.420.60.430.6 0.44当11 01234xF( x)oo1ooo12从上面的例子可看出，若从上面的例子可看出，若X的概率分布为的概率分布为则则X的分布函数为的分布函数为上式中的和式是对所有满足上式中的和式是对所有满足的的k进行求和，即进行求和，即13其中其中.14例例4一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任
5、设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量X 的分布函数的分布函数.解解15于是于是故故X 的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线16例例5 5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.解解P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目
6、标)例3巴斯卡分 布17注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当18归纳地令19离散型随机变量的分布律的求法：离散型随机变量的分布律的求法：（1 1）利用古典概率、条件概率、独立性等）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件计算方法及其运算法则求出事件 X= =xk 的概的概率率pk= = P X= =xk, , k=1,2,=1,2, , 求法步骤为：求法步骤为：第一步：先确定第一步：先确定 X 的全部可能取值的全部可能取值 xk, , k=1,2,=1,2,；第二步：具体求出事件第二步：具体求出事件 X=xk 的概率，即的概率，即pk。20（2 2）利用分布函数）利用分
7、布函数F( (x) )求概率分布求概率分布求法步骤为：求法步骤为：第一步：第一步：F( (x) )的各间断点的各间断点xk的取值为的取值为X的的可能取值；可能取值；第二步：由第二步：由pk= =P X=xk=F( (xk)-)-F( (xk-0)-0)求求出事件出事件 X=xk 的概率。的概率。21例例622(3)(3)利用分布律的基本性质求分布律利用分布律的基本性质求分布律例例7 7 一批产品分为一、二、三级，其中一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检
8、验，用随机变量描述检验的可能结质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。果，试求出它的概率分布。2324分布分布类型型分布律分布律参数参数(0-1)(0-1)分布分布 0p10p1二二项分布分布0p10p1几何几何分布分布0p0p0等可能等可能分布分布26例例8（寿命保险问题）设在保险公司里有（寿命保险问题）设在保险公司里有25002500个同一年龄和同社会阶层的人参加了个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.0020.002，每个参加保险的人在每年一月一日，每个参加保险的人在每年一月一日付付1212元保险费
9、，而死亡时家属可到保险公元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费司领取赔付费20002000元。元。试问：（试问：（1 1）“一年内保险公司亏本一年内保险公司亏本”（记为（记为A A）的概率是多少？（）的概率是多少？（2 2）“一年内一年内保险公司获利不少于保险公司获利不少于1000010000，2000020000元元”（分别记为（分别记为B1,B2B1,B2）的概率是多少？）的概率是多少？27若若A发生，则有发生，则有 25002500X3000030000 得得 X1515（人）（人）解解：每年保险公司收入为：每年保险公司收入为2500250012=3000012=30000元，元，设设X为为25002500人在一年中死亡的人数，人在一年中死亡的人数，则保险公司应赔付则保险公司应赔付2000X2000X元，元，即若一年中死亡人数超过即若一年中死亡人数超过1515人，则公司亏人，则公司亏本（此处不计本（此处不计3 3万元所得利息）万元所得利息）28293031
