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1、1一元二次方程根的判一元二次方程根的判别别式的多种式的多种应应用用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习 一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、 不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例 1、判断下列方程根的情况2x2+x1=0；x22x3=0；x26x+9=0；2x2+x+1=0 二、 已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例 2、当 m 为何值时关于 x 的方程（m4）x2（2m1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当 =-（2m-1）2-4（m-4）m0 时，原方程有两个实数根，4m2-4m+1-4m2+
2、16m0，解得 m- 又m-40 m4 当 m- 且 m4 时，原方程有两个实数根。 例 3、当 m 分别取何值时关于 x 的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式 =b2-4ac 是相对于一元二次方程而言的，而 ax2+bx+c=0 当 a=0 时是一元 一次方程不能用判别式，所以例 2 中一定要考虑二次项系数 m-40；例 3 则一定要做分类讨论。 三、 证明方程根的性质。 例 4、求证：无论 m 为任何实数，关于 x 的方程 x2+（m2+
3、3）x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 简解：=（m2+3）2-40.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+10 无论 m 为任何实数，关于 x 的方程 x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用 0 求 m 的取值范围； （2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例 5、当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当 =-2（m+2）2-4m（m+5）0
4、时，关于 x 的二次三项式 mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数 范围内因式分解。m4 且 m0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式 ax2+bx+c（a0）的因式分解，其方法是先求 ax2+bx+c=0（a0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解， 即：0 方程有实数根。 故只取 k=2。 评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母 的值满足 0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于 ax2+bx+c=0（a0） ，可按如下顺序 求字母取值：a韦达定理。 八、 与几何知识相联系的问题。 例 1
5、0、已知方程 a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0 有两个相等的实数根，a、b、c 为一三角形的三条边，求此 三角形的形状。 例 11、已知 a、b、c 为直角三角形的三条边，c 为斜边，求证：关于 x 的方程 x2-2（a+b）x+c2+ab=0 有两个相等的实数根。 简解：证明：=-2（a+b）2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）a、b、c 为直角三角形的三条边，c 为斜边 =a2+b2-c2 =0 原方程有两个相等的实数根。 在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。 九、 判断其他类方程根的情况。 例 12、分式方程 无实数根，求 m
6、 的取值范围。 例 13、a、b、c 为一三角形的三条边长，若方程 ax-y+bc=0 与方程 x2-ax-y+b2=0 只有一组公共的实数解， 求次三角形的形状。 十、 解决二次函数的相关问题。 例 14、若抛物线 y=x2-ax+8 的顶点在横轴上，求 a 值。 例 15、求证：无论 m 为何值，二次函数 y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。 例 16、直线 y=3x-3 与 y=x2-x+1 有几个交点？ 评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由 决定，即 0 时，有两个交点；=0 时，有一个交点（或者说顶点在横轴上） ；0 时函数值恒为正，当
7、a2 时，关于 x、y 的方程组的实数解有（ ）个。 10、已知关于 x 的方程 x2kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。 （2002 年南京市中考数学试题）11、已知:二次函数 y=x2+ax+a-2 求证：1不论 a 取何值，抛物线 y=x2+ax+a-2 的顶点总在横轴下方。2是否存在 a 的值使抛物线 y=x2+ax+a-2 在横轴上截得的线段长为 1？ （2002 年杭州市中考数学试题） 12、已知 x1x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根，是否存在实数 k，使（2x1-x2） （x1- 2x2）= -1.5，若存在，求出 k 的值；若不存在，
8、请说明理由。4(2002 年四川省中考数学试题) 13、是否存在这样的非负整数 m，使关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m-1)x+1=0 有两个实数根？若存在请 求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 14、若方程 x2+2px-q=0(p、q 为实数)没有实数根。 a) 求证：p+q有两个相等的实数根。 i. 求证：关于 y 的方程 m2y2-2my-m2-2n2+3=0 必有两个不相等的实数根。 ii. 若方程1的一根的相反数恰好是方程2的一根求代数式 m2n+12n 的值。 （2002 年北京市海淀区 中考数学试题） 16、若三个方程 x2+4ax-4a+3=0；x2+(a-1)
9、x+a2=0；x2+2ax-2a=0 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取 值范围。 17、若 a、b、c、d 都是实数，且满足 a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证：b2=ac。 18、已知：a、b、c 三数满足方程组，试求方程 bx2+cx-a=0 的根。 （2002 年全国初中数学联合竞赛试题） 19、已知 a、b、c 为实数，a-b=8，ab+c2+16=0，求证：a+b+c=0 20、已知 0.25(b-c)2=(a-b)(c-a)且 a0,则(b+c)/a 的值是_. 21、ABC 的三边满足 b+c=8,bc=a2-12a+52,试问 ABC 是什么三角形（按边分类）并证明你的结论。 （第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）
