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1、高中数学疑难问题高中数学疑难问题高一下学期高一下学期 （数列压轴题）（数列压轴题）1 1、已知数列、已知数列满足满足 a a1 1=a=a（a a0 0，aNaN+ +），且），且 a a1 1+a+a2 2+a+an n-pa-pan-n-na1 1=0=0，（，（p0p0，p-1p-1，n nN N+ +）。）。（1 1）求求的通项公式；的通项公式；na（2 2）若对任意）若对任意 k kNN+ +，将，将，从小到大排列后，均能构成从小到大排列后，均能构成1ka2ka3ka等差数列，且公差是等差数列，且公差是，求，求 p p 的值以及相应的数列的值以及相应的数列。（必修。（必修 5-5-k
2、dkd数列综合数列综合C3C3 级题）级题）解：（1）a1+a2+an-pan+1=0，n2 时，a1+a2+an-1-pan=0，两式相减，得（n2），pp aann11数列从第 2 项起是公比是的等比数列。又当 n=1 时，a1-napp1pa2=0，解得 a2=。=。pana )2(1) 1(2 npp panan（2）由（1）得=，=，=，1ka11 npp pa2kanpp pa 13ka11 npp pa若是等差中项，则=+，解得1ka12ka2ka3kapp pp1112，31p此时=，=，=|-|=；1ka1)2(3ka2kaka)2(3kd1ka2ka1)2(9ka若是等差中
3、项，则=+，此时该方2ka22ka1ka3ka112pp pp程无解，舍去；若是等差中项，则=+，解得3ka32ka1ka2kapp pp) 1(211，32p此时=，=，=|-1ka121 23 ka3ka121 23 kakd1ka|=。3ka121 89 ka综上所述，时，=；时，=。31pkd1)2(9ka32pkd121 89 ka2 2、已知数列、已知数列中，前中，前 n n 项和项和 S Sn n对任意对任意 nNnN+ +有有 S Sn n=m=m+1-+1-nanam m（mRmR，m0m0，m m）（1 1）求证：求证：是等比数列；是等比数列；na（2 2）若若 S S3
4、3，S S7 7，S S5 5构成等比数列，求构成等比数列，求 m m 的值；的值；（3 3）求证：）求证：对对，), 1 ( mS S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+Sn n，S S3n+13n+1+S+S3n+23n+2+S+S3n+33n+3+S+S4n4n，S S7n+17n+1+S+S7n+27n+2+S+S7n+37n+3+S+S8n8n不能不能构成等差数列。（必修构成等差数列。（必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题）级题）解：（1）当 n=1 时，a1=S1=ma1+1-m，又 m0，且 m1，a1=1。当 n2 时，Sn-1=m+1-m，=m-m，（m-1）=m
5、，1nanana1nana1na。是以 1 为首项，为公比的等比数列。011mm aannna1mm（2）由 S3，S7，S5构成等差数列可知：2S7=S3+S5，2（ma7+1-m）=（ma3+1-m）+（ma5+1-m），又m0，化简得 2a7=a3+a5，令，则，得或（舍去），q=-1。1mmq01224qq12q212q由，解得。11mm 21m（3）假设S1+S2+S3+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n，S7n+1+S7n+2+S7n+3+S8能构成等差数列，则有 2（S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n）=（S1+S2+S3+Sn）+（S7n+1+S7n+2+
6、S7n+3+S8n），2（ma3n+1+m-1+ma3n-2+m-1+ma4n+m-1）=（ma1+m-1+ma2+m-1+man+m-1）+（ma7n+1+m-1+ma7n+2+m-1+ma8n+m-1），化简得 2m（S4n-S3n）=+m（S8n-S7n），nmS又知（S4n-S3n）=，（S8n-S7n）=，nnSq 3nnSq 7可得=+Sn，（*）nnSq 32 nnSq 7而 m1，q1，Sn0。且 1+q7n=，nq72nq62nq32（*）无解，假设错误。对，), 1 ( mS1+S2+S3+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n，S7n+1+S7n+2+S7n+3
7、+S8n不能构成等差数列。3 3、设数列、设数列满足满足（RR，nNnN+ +）；等比数）；等比数na023)(22nnanan列列的首项是的首项是 b b1 1=2=2，公比是，公比是 q q（q q 是正整数），且满足是正整数），且满足 3b3b3 3是是 8b8b1 1nb与与 b b5 5的等差中项。的等差中项。（1 1）求数列求数列的通项公式；的通项公式；nb（2 2）试确定试确定 的值，使得数列的值，使得数列是等差数列；是等差数列；na（3 3）当数列）当数列是等差数列时，对每个正整数是等差数列时，对每个正整数 k k，在，在 b bk k与与 b bk+1k+1之间之间na插入插
8、入个个 2 2，得到一个新数列，得到一个新数列。设。设 T Tn n是数列是数列的前的前 n n 项和，试项和，试kancnc求满足求满足 T Tm m=2=2的所有正整数的所有正整数 m m。（必修。（必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题）级题）1mc解：（1）6b3=8b1+b5，6q2=8+q4，解得 q2=4 或 q2=2（舍去），则 q=2。又b1=2，=2n。nb（2）在中，将 n=1，2，3 分别代入，023)(22nnanan得 a1=2-4，a2=16-4，a3=12-2，则由 a1+a3=2a2，得 =3。而当 =3 时，=2n，由-=2 知此时数列是等差数列。na
9、1nanana（3）c1=c2=c3=2，易知 m=1 不符合题意，m=2 符合题意。当 m3 时，若后添入的 2 等于个，则一定不符合题意，1mc从而必是数列中的某一项，1mcna1ka则（2+22+23+2k）+2（b1+b2+b3+bk）=22k+1，2（2k-1）+2=22k+1，2k+1-2k2-2)22(kk2k+2=0，2k=k2+k-1。易证 k=1，2，3，4 不是该方程的解。而当 n5 时，2nn2+n-1 成立，证明如下：当 n=5 时，25=32，k2+k-1=29，左边右边成立；假设 n=k 时，2kk2+k-1 成立，当 n=k+1 时，2k+12k2+2k-2=（
10、k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）（k+1）2+（k+1）-1，当 n=k+1 时，结论成立。由，可知，2nn2+n-1 在 n5 时恒成立，2k=k2+k-1 无正整数解。综上，满足题意的正整数 m 仅有 2。4 4、设数列、设数列的通项公式是的通项公式是= =（nNnN+ +，p p0 0），），数列数列定定nanaqpnmb义如下：对于正整数义如下：对于正整数 m m，是使得不等式是使得不等式m m 成立的所有成立的所有 n n 中的最中的最mbna小值。小值。（1 1）若若 p=p=，q=q
11、=，求，求 b b3 3；21 31（2 2）若若 p=2p=2，q=-1q=-1，求数列，求数列的前的前 2n2n 项和；项和；mb（3 3）是否存在）是否存在 p p、q q，使得，使得=3m+2=3m+2（mNmN+ +）？若存在，求出）？若存在，求出 p p、q qmb的取值范围；若不存在，说明理由。（必修的取值范围；若不存在，说明理由。（必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题）级题）解：（1）由题意得，解得，取31 21nan331 21n320nn7，b3=7。（2）由题意得=2n-1，对正整数 m，由m 得，根据nana21mn的定义可知：当 m=2k-1 时，=k；当 m
12、=2k 时，=k+1（kN+），mbmbmbS2n=S奇+S偶=（1+2+3+m）+（2+3+4+m+1）=m2+2m。2)3( 2) 1(mmmm（3）假设存在 p、q 满足条件，由不等式m 及 p0 得qpn。pqmn=3m+2（mN+），由的定义可知，对于任意的正整数 m 都mbmb有，-2p-q（3p-1）m-p-q 对任意的正整数2313mpqmmm 都成立。当 3p-10 时，得或，这与上述结论矛盾；13 pqpm132 pqpm当 3p-1=0，即 p= 时，得，解得 q，符合31qq31032)31,32题意。存在 p、q，使得=3m+2（mN+），此时 p、q 的取值范围分别
13、是mbp= ，q。31)31,325 5、设数列设数列的前的前 n n 项和是项和是 S Sn n。若。若（nNnN+ +），则称），则称是是na2211nn aana“紧密数列紧密数列”。（1 1）若若的前的前 n n 项和项和（nNnN+ +），证明），证明是是“紧密紧密na)3(412nnSnna数列数列”；（2 2）设）设是公比是是公比是 q q 的等比数列。若数列的等比数列。若数列和和都是都是“紧密数紧密数nananS列列”，求，求 q q 的取值范围。（必修的取值范围。（必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题）级题）解：（1）证明：由数列的前 n 项和（nN+），na)3(4
14、12nnSn得，。 )2(21 21) 1( 111nnSSnS annn21 21nan=。nn aa1 1111221 2121) 1(21 nnnnn对任意 nN+，21 110n23 1111n，是“紧密数列”。23 11111 naann2211nn aana（2）由是公比是 q 的等比数列，得 q=，nann aa1是“紧密数列”，。na221 q当 q=1 时，1naSnnnn SSnn1111，21111211 nnn SSnnq=1 时，数列为“紧密数列”，q=1 满足题意。nS当 q1 时，则。数列为“紧密qqaSnn1)1 (1 nnnn qq SS 111 1nS数列”，对于任意 nN+恒成立。211 211 1 nnnn qq SS（）当时，对于121 q)1 (21)1 (211nnnqqq 1)2(1) 12(qqqqnn任意 nN+恒成立。，
