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1、高中数学疑难问题高中数学疑难问题高一下学期高一下学期 (数列压轴题)(数列压轴题)1 1、已知数列、已知数列满足满足 a a1 1=a=a(a a0 0,aNaN+ +),且),且 a a1 1+a+a2 2+a+an n-pa-pan-n-na1 1=0=0,(,(p0p0,p-1p-1,n nN N+ +)。)。(1 1)求求的通项公式;的通项公式;na(2 2)若对任意)若对任意 k kNN+ +,将,将,从小到大排列后,均能构成从小到大排列后,均能构成1ka2ka3ka等差数列,且公差是等差数列,且公差是,求,求 p p 的值以及相应的数列的值以及相应的数列。(必修。(必修 5-5-k
2、dkd数列综合数列综合C3C3 级题)级题)解:(1)a1+a2+an-pan+1=0,n2 时,a1+a2+an-1-pan=0,两式相减,得(n2),pp aann11数列从第 2 项起是公比是的等比数列。又当 n=1 时,a1-napp1pa2=0,解得 a2=。=。pana )2(1) 1(2 npp panan(2)由(1)得=,=,=,1ka11 npp pa2kanpp pa 13ka11 npp pa若是等差中项,则=+,解得1ka12ka2ka3kapp pp1112,31p此时=,=,=|-|=;1ka1)2(3ka2kaka)2(3kd1ka2ka1)2(9ka若是等差中
3、项,则=+,此时该方2ka22ka1ka3ka112pp pp程无解,舍去;若是等差中项,则=+,解得3ka32ka1ka2kapp pp) 1(211,32p此时=,=,=|-1ka121 23 ka3ka121 23 kakd1ka|=。3ka121 89 ka综上所述,时,=;时,=。31pkd1)2(9ka32pkd121 89 ka2 2、已知数列、已知数列中,前中,前 n n 项和项和 S Sn n对任意对任意 nNnN+ +有有 S Sn n=m=m+1-+1-nanam m(mRmR,m0m0,m m)(1 1)求证:求证:是等比数列;是等比数列;na(2 2)若若 S S3
4、3,S S7 7,S S5 5构成等比数列,求构成等比数列,求 m m 的值;的值;(3 3)求证:)求证:对对,), 1 ( mS S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+Sn n,S S3n+13n+1+S+S3n+23n+2+S+S3n+33n+3+S+S4n4n,S S7n+17n+1+S+S7n+27n+2+S+S7n+37n+3+S+S8n8n不能不能构成等差数列。(必修构成等差数列。(必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题)级题)解:(1)当 n=1 时,a1=S1=ma1+1-m,又 m0,且 m1,a1=1。当 n2 时,Sn-1=m+1-m,=m-m,(m-1)=m
5、,1nanana1nana1na。是以 1 为首项,为公比的等比数列。011mm aannna1mm(2)由 S3,S7,S5构成等差数列可知:2S7=S3+S5,2(ma7+1-m)=(ma3+1-m)+(ma5+1-m),又m0,化简得 2a7=a3+a5,令,则,得或(舍去),q=-1。1mmq01224qq12q212q由,解得。11mm 21m(3)假设S1+S2+S3+Sn,S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n,S7n+1+S7n+2+S7n+3+S8能构成等差数列,则有 2(S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n)=(S1+S2+S3+Sn)+(S7n+1+S7n+2+
6、S7n+3+S8n),2(ma3n+1+m-1+ma3n-2+m-1+ma4n+m-1)=(ma1+m-1+ma2+m-1+man+m-1)+(ma7n+1+m-1+ma7n+2+m-1+ma8n+m-1),化简得 2m(S4n-S3n)=+m(S8n-S7n),nmS又知(S4n-S3n)=,(S8n-S7n)=,nnSq 3nnSq 7可得=+Sn,(*)nnSq 32 nnSq 7而 m1,q1,Sn0。且 1+q7n=,nq72nq62nq32(*)无解,假设错误。对,), 1 ( mS1+S2+S3+Sn,S3n+1+S3n+2+S3n+3+S4n,S7n+1+S7n+2+S7n+3
7、+S8n不能构成等差数列。3 3、设数列、设数列满足满足(RR,nNnN+ +);等比数);等比数na023)(22nnanan列列的首项是的首项是 b b1 1=2=2,公比是,公比是 q q(q q 是正整数),且满足是正整数),且满足 3b3b3 3是是 8b8b1 1nb与与 b b5 5的等差中项。的等差中项。(1 1)求数列求数列的通项公式;的通项公式;nb(2 2)试确定试确定 的值,使得数列的值,使得数列是等差数列;是等差数列;na(3 3)当数列)当数列是等差数列时,对每个正整数是等差数列时,对每个正整数 k k,在,在 b bk k与与 b bk+1k+1之间之间na插入插
8、入个个 2 2,得到一个新数列,得到一个新数列。设。设 T Tn n是数列是数列的前的前 n n 项和,试项和,试kancnc求满足求满足 T Tm m=2=2的所有正整数的所有正整数 m m。(必修。(必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题)级题)1mc解:(1)6b3=8b1+b5,6q2=8+q4,解得 q2=4 或 q2=2(舍去),则 q=2。又b1=2,=2n。nb(2)在中,将 n=1,2,3 分别代入,023)(22nnanan得 a1=2-4,a2=16-4,a3=12-2,则由 a1+a3=2a2,得 =3。而当 =3 时,=2n,由-=2 知此时数列是等差数列。na
9、1nanana(3)c1=c2=c3=2,易知 m=1 不符合题意,m=2 符合题意。当 m3 时,若后添入的 2 等于个,则一定不符合题意,1mc从而必是数列中的某一项,1mcna1ka则(2+22+23+2k)+2(b1+b2+b3+bk)=22k+1,2(2k-1)+2=22k+1,2k+1-2k2-2)22(kk2k+2=0,2k=k2+k-1。易证 k=1,2,3,4 不是该方程的解。而当 n5 时,2nn2+n-1 成立,证明如下:当 n=5 时,25=32,k2+k-1=29,左边右边成立;假设 n=k 时,2kk2+k-1 成立,当 n=k+1 时,2k+12k2+2k-2=(
10、k+1)2+(k+1)-1+k2-k-3(k+1)2+(k+1)-1+5k-k-3=(k+1)2+(k+1)-1+k+3(k-1)(k+1)2+(k+1)-1,当 n=k+1 时,结论成立。由,可知,2nn2+n-1 在 n5 时恒成立,2k=k2+k-1 无正整数解。综上,满足题意的正整数 m 仅有 2。4 4、设数列、设数列的通项公式是的通项公式是= =(nNnN+ +,p p0 0),),数列数列定定nanaqpnmb义如下:对于正整数义如下:对于正整数 m m,是使得不等式是使得不等式m m 成立的所有成立的所有 n n 中的最中的最mbna小值。小值。(1 1)若若 p=p=,q=q
11、=,求,求 b b3 3;21 31(2 2)若若 p=2p=2,q=-1q=-1,求数列,求数列的前的前 2n2n 项和;项和;mb(3 3)是否存在)是否存在 p p、q q,使得,使得=3m+2=3m+2(mNmN+ +)?若存在,求出)?若存在,求出 p p、q qmb的取值范围;若不存在,说明理由。(必修的取值范围;若不存在,说明理由。(必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题)级题)解:(1)由题意得,解得,取31 21nan331 21n320nn7,b3=7。(2)由题意得=2n-1,对正整数 m,由m 得,根据nana21mn的定义可知:当 m=2k-1 时,=k;当 m
12、=2k 时,=k+1(kN+),mbmbmbS2n=S奇+S偶=(1+2+3+m)+(2+3+4+m+1)=m2+2m。2)3( 2) 1(mmmm(3)假设存在 p、q 满足条件,由不等式m 及 p0 得qpn。pqmn=3m+2(mN+),由的定义可知,对于任意的正整数 m 都mbmb有,-2p-q(3p-1)m-p-q 对任意的正整数2313mpqmmm 都成立。当 3p-10 时,得或,这与上述结论矛盾;13 pqpm132 pqpm当 3p-1=0,即 p= 时,得,解得 q,符合31qq31032)31,32题意。存在 p、q,使得=3m+2(mN+),此时 p、q 的取值范围分别
13、是mbp= ,q。31)31,325 5、设数列设数列的前的前 n n 项和是项和是 S Sn n。若。若(nNnN+ +),则称),则称是是na2211nn aana“紧密数列紧密数列”。(1 1)若若的前的前 n n 项和项和(nNnN+ +),证明),证明是是“紧密紧密na)3(412nnSnna数列数列”;(2 2)设)设是公比是是公比是 q q 的等比数列。若数列的等比数列。若数列和和都是都是“紧密数紧密数nananS列列”,求,求 q q 的取值范围。(必修的取值范围。(必修 5-5-数列综合数列综合C3C3 级题)级题)解:(1)证明:由数列的前 n 项和(nN+),na)3(4
14、12nnSn得,。 )2(21 21) 1( 111nnSSnS annn21 21nan=。nn aa1 1111221 2121) 1(21 nnnnn对任意 nN+,21 110n23 1111n,是“紧密数列”。23 11111 naann2211nn aana(2)由是公比是 q 的等比数列,得 q=,nann aa1是“紧密数列”,。na221 q当 q=1 时,1naSnnnn SSnn1111,21111211 nnn SSnnq=1 时,数列为“紧密数列”,q=1 满足题意。nS当 q1 时,则。数列为“紧密qqaSnn1)1 (1 nnnn qq SS 111 1nS数列”,对于任意 nN+恒成立。211 211 1 nnnn qq SS()当时,对于121 q)1 (21)1 (211nnnqqq 1)2(1) 12(qqqqnn任意 nN+恒成立。,