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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 B B一单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设事件 A 和 B 的概率为 则可能为（D）12( ), ( )23P AP B()P AB(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从 1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（D）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对1 22 254 253投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为 6 的概率为（A ）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对5 181 31 24某一随机变量的分布函数为，(
2、a=0,b=1)则F(0)的值为（ C）( )3xxabeF xe(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有 3 个红球和 2 个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得 5 分，摸得白球得 2 分，则他所得分数的数学期望为（ C）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= 0.85 .()P ABU2设随机变量，则n=_5_.p=0.6( , ), ( )3, ( )1.2B n pED3随机变量的期望为
3、，标准差为，则=_29_.( )5E( )2 2()E4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是 0.7 和 0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_0.94_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则P(0)=_3/4_.2( )22af xxx三(本题 10 分)将 4 个球随机地放在 5 个盒子里，求下列事件的概率(1) 4 个球全在一个盒子里; 1/125(2) 恰有一个盒子有 2 个球. 72/125把 4 个球随机放入 5 个盒子中共有 54=625 种等可能结果-3 分（1）A=4 个球全在一个盒子里共有 5 种
4、等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-5 分(2) 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法-7 分302 41 5CC4 个球中取 2 个放在一个盒子里，其他 2 个各放在一个盒子里有 12 种方法因此，B=恰有一个盒子有 2 个球共有 1230=360 种等可能结果.故-10 分12572 625360)(BP四(本题 10 分) 设随机变量的分布密度为, 03( )1 0, x3Axf xx 当当或(1) 求常数A; (2) 求P(1)； (3) 求的数学期望.解：（1）-3 分304ln1, 4ln1)(AAdxxAdxxf（2）-6 分10212ln1) 1(A
5、dxxAP（3）3 3 0 0( )( )ln(1)1AxExf x dxdxA xxx-10 分13(3ln4)1ln4ln4五(本题 10 分) 设二维随机变量(,)的联合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及； ()E （1） 的边缘分布为-2 分 29. 032. 039. 02 1 0 的边缘分布为-4 分 28. 034. 023. 015. 05 4 2 1因,故 与 不相互独立-5 分) 1()0(05. 0) 1, 0(PPP（2）的分布列为 01245
6、810P0.390.030.170.090.110.110.10因此，16. 310. 01011. 0811. 0509. 0417. 0203. 0139. 00)( E-10 分另解另解：若 与 相互独立,则应有P(0,1)P(0)P(1); P(0,2)P(0)P(2);P(1,1)P(1)P(1); P(1,2)P(1)P(2);因此，) 1()0( )2, 1()2, 0( ) 1, 1() 1, 0( PP PP PP但 ，故 与 不相互独立。10. 012. 003. 005. 0六(本题 10 分)有 10 盒种子，其中 1 盒发芽率为 90，其他 9 盒为 20.随机选取其
7、中 1 盒，从中取出1 粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少？解：由全概率公式及 Bayes 公式P(该种子能发芽)0.10.9+0.90.20.27-5 分P(该种子来自发芽率高的一盒)(0.10.9)/0.271/3-10 分七(本题 12 分) 某射手参加一种游戏，他有 4 次机会射击一个目标.每射击一次须付费 10 元. 若他射中目标，则得奖金 100 元，且游戏停止. 若 4 次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款 100 元. 若他每次击中目标的概率为 0.3,求他在此游戏中的收益的期望.令 Ak=在第 k 次射击时击中目标，A0
8、=4 次都未击中目标。于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.70.3=0.21; P(A3)=0.720.3=0.147P(A4)= 0.730.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401-6 分在这 5 种情行下，他的收益 分别为 90 元，80 元，70 元，60 元，140 元。-8 分因此，65.26)140(2401. 0601029. 070147. 08021. 0903 . 0)(E八(本题 12 分)某工厂生产的零件废品率为 5，某人要采购一批零件，他希望以 95的概率保证其中有 2000 个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)(1.28)0.90(1.
9、65)0.95解：设他至少应购买n个零件，则n2000，设该批零件中合格零件数 服从二项分布 B(n,p), p=0.95. 因n很大，故 B(n,p)近似与N(np,npq) -4 分由条件有-8 分2000(2000)1()0.95npPnpq 因，故，解得 n=2123,(1.65)0.952001.65np npq 即至少要购买 2123 个零件. -12 分9(本题 6 分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.ABU 证：因 A、B、C 相互独立，故 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(
10、B)P(C).-2 分() )()()()()P AB CP ACBCP ACP BCP ABCUU-4 分( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )P A P CP B P CP A P B P C ( )( )( ) ( ) ( )() ( )P AP BP A P B P CP AB P CU故与 C 相互独立. -6 分 ABU10某班有 50 名学生，其中 17 岁 5 人，18 岁 15 人，19 岁 22 人，20 岁 8 人，则该班学生年龄的样本均值为_.十测量某冶炼炉内的温度，重复测量 5 次，数据如下（单位：）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值的 0.95 的置信区间. (注：2( ,)N 10,)(1.96)0.975(1.65)0.95
