离散数学屈婉玲版课后习题

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1、1第一章部分课后习题参考答案第一章部分课后习题参考答案 16 设 p、q 的真值为 0;r、s 的真值为 1,求下列各命题公式的真值。(1)p(qr) 0(01) 0 (2) (pr)(qs) (01)(11) 010.(3) (pqr)(pqr) (111) (000)0(4)(rs)(pq) (01)(10) 00117判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果 3 是无理数,则也是无理数。另2外 6 能被 2 整除,6 才能被 4 整除。 ”答:答:p: 是无理数 1q: 3 是无理数 0r: 是无理数 1 2s: 6 能被 2 整除 1t: 6 能被 4 整除 0命题符号化为:

2、p(qr)(ts)的真值为 1,所以这一段的论述为真所以这一段的论述为真。19用真值表判断下列公式的类型:(4)(pq) (qp)(5)(pr) (pq)(6)(pq) (qr) (pr)答:答: (4)p q pq q p qp (pq)(qp)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq

3、)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)答:答:(2)(p(pq))(pr)(p(pq)(pr)ppqr1所以公式类型为永真式(3) P q r pq pr (pq)(pr) 0 0 0 0 0 120 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(pq)(pr)(p(qr)(4)(pq)(pq)(pq) (pq)证明(2)(pq)(pr)(pq)(pr)p(qr)p(qr)(4)(pq)(pq)(p(pq)

4、 (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解:解: (1)主析取范式(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)320mmm(0,2,3) 主合取范式:(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)3(p(qp)(q(qp)1(pq)(pq) M1(1)(2) 主合取范式为:(pq)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式.主合取范式为(0,1,

5、2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p(qr)(pqr) (p(qr)(pqr) (p(qr)(pqr) (p(pqr)(qr)(pqr) 111所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明:(2)前提:pq,(qr),r结论:p(4)前提:qp,qs,st,tr结论:pq证明:(2)(qr) 前提引入qr 置换qr 蕴含等值式r 前提引入q 拒取式pq 前提引入4p(3) 拒取式证明(4):tr 前提引入t 化简律q

6、s 前提引入st 前提引入qt 等价三段论(qt)(tq) 置换(qt) 化简q 假言推理qp 前提引入p 假言推理(11)pq 合取 15 在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理:(1) 前提:p(qr),sp,q结论:sr证明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:pq,rq,rs结论:p证明:p 结论的否定引入pq 前提引入q 假言推理5rq 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步 rr 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题

7、参考答案第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意 x,均有2=(x+)(x).222(2) 存在 x,使得 x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解解:F(x):F(x): 2=(x+2=(x+)(x)(x).).222G(x):G(x): x+5=9.x+5=9.(1)(1)在两个个体域中都解释为在两个个体域中都解释为,在(,在(a a)中为假命题,在)中为假命题,在(b)(b)中为真命题。中为真命题。)(xxF(2)(2)在两个个体域中都解释为在两个个体域中都解释为

8、,在(,在(a a)(b)(b)中均为真命题。中均为真命题。)(xxG4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.解解: :(1)F(x):(1)F(x): x x 能表示成分数能表示成分数H(x):H(x): x x 是有理数是有理数命题符号化为命题符号化为: : )()(xHxFx(2)F(x):(2)F(x): x x 是北京卖菜的人是北京卖菜的人H(x):H(x): x x 是外地人是外地人命题符号化为命题符号化为: : )()(xHxFx5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:(1) 火车都比轮船快.(3) 不存在比所有火车都

9、快的汽车. 解解: :(1)F(x):(1)F(x): x x 是火车是火车; ; G(x):G(x): x x 是轮船是轮船; ; H(x,y):H(x,y): x x 比比 y y 快快命题符号化为命题符号化为: : ),()()(yxHyGxFyx6(2)(2) (1)F(x):(1)F(x): x x 是火车是火车; ; G(x):G(x): x x 是汽车是汽车; ; H(x,y):H(x,y): x x 比比 y y 快快命题符号化为命题符号化为: : ),()()(yxHxFxyGy9.给定解释 I 如下:(a) 个体域 D 为实数集合 R.(b) D 中特定元素 =0. (c)

10、 特定函数 (x,y)=xy,x,y.D(d) 特定谓词 (x,y):x=y, (x,y):x,2,E EA A=,=,L LA A=,=,D DA A=13.设 A=,B=,求 AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B).解:解:A AB=,B=,A AB=B=domA=1,2,3domA=1,2,3 domB=1,2,4domB=1,2,4dom(AB)=1,2,3,4dom(AB)=1,2,3,4ranA=2,3,4ranA=2,3,4 ranB=2,3,4ranB=2,3,4ran(Aran(AB)=4B)=4A

11、-B=,A-B=,,fld(A-B)=1,2,3fld(A-B)=1,2,314.设 R=,求 R R, R-1, R0,1, R1,2o解:解:R R R=,R=,oR-1,=,=,R R0,1=,0,1=,R1,2=ran(R|1,2)=2,3R1,2=ran(R|1,2)=2,316设 A=a,b,c,d,为 A 上的关系,其中1R2R=1R,a aa bb d2,Ra db cb dc b10求。23 122112,RR RR RRoo解解: : R1R2=,oR2R1=oR12=R1R1=,oR22=R2R2=,oR23=R2R22=,o36设 A=1,2,3,4,在 A A 上定义二元关系 R,,A A , u,v R u + y = x + v.(1) 证明 R 是 A A 上的等价关系.(2)确定由 R 引起的对 A A 的划分.(1 1)证明:)证明:R u+y=x-yRu-v=x-yA

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