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1、克服系统误差的软件算法克服系统误差的软件算法 1 1本文由 jackcms 贡献ppt 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。4.2 克服系统误差的软件算法仪表的系统误差是指在相同条件下， 仪表的系统误差是指在相同条件下，多次测量同 一量时其大小和符号保持不变或按一定规律变化的误 差，恒定不变的误差称为恒定系统误差。 恒定不变的误差称为恒定系统误差。 一、系统误差的模型校正法 在某种情况下，对仪表的系统误差进行理论分析 和数学处理，可以建立起仪表的系统误差模型，一旦 有了模型，就可以确定校正系统误差的算法和表达式。 例 1：在仪表中用运算放大器测量
2、电压时，常会引 入零位和增益误差。 x ? x0 y = VR ? x1 ? x0例 2：采用铂热电阻 Pt-100 测量温度时的非线性误差， Rt = 100 * ( 1 + At + Bt2 ) 式中： A = 3.90802*10-3 -1 B = -5.802*10-7 -24 B(100 ? Rt ) ? A+ A ? 100 t= 2B2( 0C )误差校正模型的建立，包括了由离散数据建立模 型和由复杂型建立简化模型的两层含义。建模和简化 的方法很多，目前常用的办法有代数插值法和最小二 乘法。(一) 代数插值法 设有 n+1 组离散点：(x0,y0),(x1,y1),(xn,yn)
3、 xa,b和未知函数 f(x)并有： f(x0)=y0, f(x1)=y1f(xn)=yn 现在要设法找到一个函数 g(x)在 xi(i=0,n)处 与 f(xi)相等。这就是插值问题，满足这个条件的函数 g(x)就称为 f(X)的插值函数，xi 为插值点，有了 g(x)， 在以后的计算中就可以用 g(x)在区间a,b上近似代替 f(x)。 在插值中，g(x)有各种选择方法，由于多项式是 最容易计算的一类函数，一般常选择g(x)为 n 次多项式， 并记这 n 次多项式为 Pn(x)，这种插值方法就叫做代数 插值，也叫作多项式插值。现要用一个次数不超过 n 的代数多项式Pn ( x) = a n
4、 x + a n ?1 xnn ?1+ L a1 x + a 0去逼近 f(x)，使 P(x)在节点 xi 处满足：式 1 由于多项式 Pn(x)中的未定系数有 n+1 个， 而它所应满足的条件式 1 也有 n+1 个，因此，系 数 an,an-1a1,a0 应满足的方程组为：n n ?a n x0 + a n ?1 x0 ?1 + L + a1 x0 + a 0 = y 0 ? ? ? n n ?1 ?a n x1 + a n ?1 x1 + L + a1 x1 + a 0 = y1 ? ? ? ?LL ? ?a x n + a x n ?1 + L + a x + a = y ? n ?1
5、 n n? 1 n 0 ? n nPn ( xi ) = f ( xi ) = y iA、线性插值 线性插值是在组数据(Xi,Yi)中选取两个有代表 线性插值是在组数据(Xi,Yi)中选取两个有代表 (Xi,Yi) 性的点(X0,Y0) (X1,Y1),然后根据插值原理 (X0,Y0)、 然后根据插值原理，性的点(X0,Y0)、(X1,Y1),然后根据插值原理，求出 插值方程。 插值方程。 P1 ( x) = a1 x + a 0 设 由 ? y 0 = a1 x0 + a 0? y1 = a1 x1 + a 0可得 即：y1 ? y 0 a1 = x1 ? x0y1 ? y 0 a0 = y
6、 0 ? x1 ? x0y1 ? y 0 y1 ? y 0 P1 ( x) = a1 x + a 0 = ? x = y0 ? ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0y1 ? y 0 P1 ( x) = ( x ? x0 + y 0 ) x1 ? x0当(x0,y0) ，(x1,y1)取在非线性特性曲线 f(x)或 (x0,y0 (x1,y1 取在非线性特性曲线 f(x)或 f(x) 数组的两端点 A,B A,B时 数组的两端点 A,B 时 ， 线性插值就是最常用的直线方 程校正法。 程校正法。 A,B 两点的数据分别为(a,f(a)， （b,f(b)） ， 两点的数据分别为(a,f(a)，
7、 （b,f(b) 设 A,B 两点的数据分别为(a,f(a)， （b,f(b)） ， 如图 4.2.1 所示, 4.2.1 所示 如图 4.2.1所示,则根据上式就可以求其校正方程f (b) ? f (a ) P1 ( x) = ( x ? a) + f (a ) b?a例如：用铂热电阻测温时， 100范围内， 例如 ： 用铂热电阻测温时 ， 在 0 100 范围内 ， 经 转换电路使得 0 100 转换电路使得 0时 V0=0V，而 100时 V0=5V，若用直 线方程校正，则可得： 线方程校正，则可得：y1 ? y 0 100 0 ? 0 P1 ( x) = + y0 = x+0 x1 ?
8、 x0 5?0即P1 ( x) = 20 ? x对每一采样值，可由上式近似计 对每一采样值， 算 y1 ( x) P1 ( x) = 20 ? x 。 在两端点处拟合误差为 0 但当 V0=2.52V V0=2.52V 时 在两端点处拟合误差为 0，但当 V0=2.52V 时， P1(x)=50.40，误差为 0.3834 0.3834。 P1(x)=50.40，误差为0.3834。要求精度较高或非线性程度较为严重时， 采用上述一个直线方程进行校正，往往很难满 足仪表的精度要求，这时可采用分段直线方程 来进行非线性校正，分段后的每段非线性曲线 用一个直线方程来校正，即：P( x) 1i= a1
9、i x + a 0ii = 1,2K Ny i +1 ? y i P1i ( x) = ( x ? xi ) + y i xi +1 ? xi = a1i x + a 0i i = 0,1L N ? 1例如，同样用铂热电阻测量，但温度范围为 0 500 500 500 ， 经 转 换 电 路 使 得 0 时 V0=0V ， 而 500 时 若仍用直线方程，即用： V0=5V，若仍用直线方程，即用：y1 ? y 0 500 P1 ( x) = + y0 = x = 100 x x1 ? x0 5来校正， 来校正，经计算可得最大的拟合误差为 Vimax=10.206 采用五段线性校正后，其最大误差
10、为： 采用五段线性校正后，其最大误差为： Vimax=0 4485 Vimax=0.4485直线校正和分段线性校正的误差曲线 ：B、抛物线插值 抛物线插值是在数据在选取三点(X0,Y0) (X1,Y1)、 (X0,Y0)、 抛物线插值是在数据在选取三点(X0,Y0)、(X1,Y1)、 (X2,Y2)和设插值方程为 和设插值方程为： (X2,Y2)和设插值方程为：P2 ( x) = a 2 x + a1 x + a 02在上述三点处满足Yi 即可得 即可得： P2(Xi) = Yi 即可得：2 ? y 0 = a 2 x0 + a1 x0 + a 0 ? 2 ? y1 = a 2 x1 + a1
11、 x1 + a 0 ? 2 y 2 = a 2 x0 + a1 x 2 + a 0 ?求上方程组可求得未数 a0,a1 和 a2， 求上方程组可求得未数a0,a1 和 a2，代入上式可得 a0,a1 所需的抛物线插值方程 P2(x) 当采样得到一个 x P2(x)， 所需的抛物线插值方程 P2(x)，当采样得到一个 x 时， P2(x)公式便可求出被测量的近似值 公式便可求出被测量的近似值。 按 P2(x)公式便可求出被测量的近似值。例如： 例如： 同样对 0 500铂热电阻测温用抛物线校正， 同样对 0500铂热电阻测温用抛物线校正，在 曲线的两端及中点处取三个点， 可得三组数据， 曲线的两端及中点处取三个点 ， 可得三组数据 ， 即 )(2 239.81)( 500) 将它们分别代入式( )(5 (0,0)(2.5,239.81)(5,500)，将它们分别代入式( ) 可得： 可得： a0=0 a2=1.63 a1=91.85 91. (x)=1 64X 91.85X 即 P2(x)=1.64X2+91.85X 经验证可知， 经验证可知，用上抛物线校正的最大误差为 0.34，若需进一步提高精度也可采用分段的办法， 0.34，若需进一步提高精度也可采用分段的办法， 逐段再用抛物线进行校正。
