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1、浅谈初中数学猜想思维的培养浅谈初中数学猜想思维的培养摘要培养学生的猜想意识，引导学生进行积极的猜想，是培养学生进行 知识再发现和再创造的良好开端。让学生根据已有的知识或直觉进行猜想，既 能调动学生的各种思维能力，使学生在猜想的过程中更好地获取知识，又能展 现他们的创新才智，提高学习的自信心。 关键词数学猜想；猜想方法；有效尝试；教学作用猜想已成为学生学习数学的一种 重要方式，从心理学角度看，是一项 思维活动，是学生有方向的猜测与判 断，包含了理性的思考和直觉的判断； 从学生的学习过程来看，猜想是学生 有效学习的良好准备，它包含了学生 从事新的学习或实践的知识准备、积 极动机和良好情感。在数学学
2、习中， 猜想作为一种手段，目的是为了使学 生积极参与学习的过程，从而主动地 获取知识，培养学生的创造性思维。 一、初中数学猜想思维的培养方 法1. 丰富知识，打下猜想基础 猜想并非凭空捏造，它需要科学 的依据，故在教学实践中培养学生的 猜想能力，首先要打下猜想的基础。 即要有各种经历、各种经验、广泛的 生活面、知识面和阅读面。如今的数 学教材已不是一本“死书” ，它把学 生引入大自然，融于生活，所以在教 学实践中，教师不要把“活书”教 “死” ，这是学生建立扎实、广阔的 知识基础的一个有力保证，其次，教 师要把， “通才”教育作为教学的指 导思想，正确引导学生广泛涉猎多门 学科。 2. 运用多
3、种手段，让学生会猜想充分发挥学生的潜在能力是当今新课程改革研究的重点，因此，教师 要采用多种手段激活激活学生学习的 内驱力，疏通学生潜能的通道，以求 迸发出智慧的火花。 （1）通过观察，引导猜想。 观察是人们认识客观世界的基础， 通过观察进行猜想，然后得出结论， 有利于培养学生的创新意识。几何问 题的解题思路来自对图形的观察，下 面来看一道几何问题的实例。 例 1已知：如图 1，在四边 形 ABCD 中，A=60- 0，B=D=900，AB=2，CD=1，求BC 和 AD 的长。ADB C 图 1解析： 观察图形， 考虑B=D=900，于是连接 AC，但把A=600分开了；考虑到A=600 ，
4、连接 BD，却把直角分开了。第一次 尝试失败（如图 2 所示）.ADB C 图 2猜想向四边形外添加辅助线，延 长 AD、BC 交于点 E，得到含 300角 的 RtABE，问题得到解决。得到上 面的启示，很快又会想到延长 AB、DC，交于点 F，同样得到一个 含 300角的 RtFDA（如图 3 所示）.ADB C EF图 3 能不能在四边形内添加辅助线呢？ 不考虑连接对角线，可以作 BGAD 于点 G，CHBG 于点 H，通过逐步 解 RtBGA 和 RtCHB 也能求出结 果（如图 4 所示）. AG DHB C 图 4 受图 4 解法的启发， 从点 D 出 发，分别向 AB 和 BC
5、作垂线，或从 点 B 出发，分别向 AD 和 CD 作垂线， 问题都能得到解决（如图 5 和图 6 所 示） 。 A AI D D IB C J B CJ 图 5 图 6 （2） 通过动手，引导猜想。 初中学生的思维特点是以形象思 维为主，且有好动、好奇心强的特点。 因此，教学过程有目的、有组织地让 学生观察、操作，通过摆一摆、量一 量等操作活动，一方面可以满足学生 的心理需求，另一方面有利于引导学 生在观察操作中进行猜想。 例 2 如图 7，把一个等腰 Rt ACB 沿斜边上的中线 CD（裁剪线） 剪一刀，把分割成的两部分拼成一个 四边形 ABCD。AD AC B 图 7 猜一猜：四边形 A
6、BCD 一定是_； 试一试：按上述的裁剪方 法，请你拼一个与图 7 不同的四 边形，并在图 8 中画出示意图。ADC B图 8探究：在等腰 RtACB 中， 请你沿一条中位线（裁剪线）剪 一刀，把分割成的两部分拼成一 个特殊四边形。 想一想：你能拼得的特殊 四边形分别是_ (写出两种) 画一画：请在图 9 中分别 画出你拼得的这两种特殊四边形 的示意图。 A AC B C B图 9 拓广：在等腰 RtACB 中， 请你沿一条与中线、中位线不同 的裁剪线剪一刀，把分割成的两 部分拼成一个特殊的四边形。 变一变：你确定的裁剪线 是_，拼得的特殊四边形 是_（写出一种） 拼一拼：请在图 10 中画出
7、 你拼得的这个特殊四边形的示意 图。AC B图 10（3）通过类比，引导猜想。 类比是揭示不同事物的相同 或相似性质的思维形式。在解决 数学问题时，无论是对于命题本身还是解题的思路方法，类比都 是产生猜测、获得命题推广和引 申的原动力。 例 3 如图 11，在ABC 中， D 为 BC 的中点，E 为 AC 边上 任意一点，BE 交 AD 于点 O， 某学生在研究这一问题时，发现 如下事实：当=时，有ACAE 21 111 =（如图 11 所示）ADAO 32 122 AO EB CD 图 11当=时，有ACAE 31 211 =（如图 12 所示）ADAO 42 222 AEOB CD 图
8、12当=时，有ACAE 41 311 =（如图 13 所示）ADAO 52 322 AEOB CD 图 13当=时，参照上述研究结ACAE n1论，请你猜想用 n 表示的一般结ADAO论，并给出证明（为正整数） ； 解析：此类问题要求学生分清 题中几何图形的位置或数量特征，把 握本质。依照题意，可以猜想：当=ACAE时，有=成立。n1 ADAO n22当学生发现自己的猜想与答案 一致时，便能感受到探索知识的乐趣， 享受到成功的欢乐，并能以极大的热 情投入到新课的学习中。 （4）通过探索，引导猜想。 运用尝试探索的方法，根据已 有知识或经验，对要研究的问题作出 向结论方向逼近的猜想。这种猜想不
9、是“一步到位”的，它往往需要根据 探索分析深入的程度不断修改，从而 增强其可靠性与合理性。 例 4 如图 15，已知ABC 为等 边三角形，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且D、E、F 也 是等边三角形。 AEF B CD 图 15 除已知相等的边以外，请你 猜想还有哪些相等的线段，并证明你 的猜想； 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化 过程。 说明此类问题要求学生在掌握 全等三角形的概念和性质的基础上， 灵活运用三角形全等的判定及性质进 行结论猜想。求解这类问题，要结合 题目给出的条件，根据图形直观地找 出结论后再进行合理的推理论证。有 些开放性问题，没有具
10、体的结论，由 于不知道目标是什么，也无法制定解 题计划。可以在做题之前，猜想该题 的结果或者部分结果。这对寻找解题 方向、制定解题策略是非常有用的。 （5）通过归纳，引导猜想。 归纳是从特殊到一般的思维方 法，包括不完全归纳和完全归纳。归 纳性猜想是指运用不完全归纳法，对 研究对象或问题从一定数量的个例和 特例进行观察分析，从而提出数学新 命题或新方法的猜想活动。 例 5 计算（+1） （-1）=_22（+） （-）3232=_（2+） （2-）33=_（+2） （-2）=_55通过以上计算，观察规律，写出 用 n（n 为正整数）表示上面规律的 等式_。 解析：运用平方差公式不难得到：1；1；
11、1；1.根据因式特点，归纳规律，可以猜想（+） （-）=1.1nn1nn教材中有很多法则、公式是通过 归纳猜想得出结论，然后再加以证明 的。 （6）利用教材，引导猜想. 教材是教师教的依据，也是学生学的材料。教材为学生的猜想提供了 众多的机会。教学中，教师要充分利 用教材中的猜想因素，引导学生进行 猜想。如在教材中，有“观察与猜想” “实验与探究”等，通过学生的自学， 使学生在观察、猜想中激发学生的猜 想动机，启发学生从不同角度进行猜 想。通过猜想拓宽解题思路，寻找最 优解法，从而培养学生灵活解题和运 用知识解决问题的能力。 3.正确对待猜想成败，让学生爱 猜想 猜想过程中，猜想的结果经过科
12、学验证，有对有错，猜测结果正确时， 学生自然很高兴，一旦猜想错误，有 些学生就会产生消极心理，丧失自信 心，在今后的学习中不敢再进行大胆 猜测，因此，正确对待学生猜想的成 败尤为重要。当经过论证发现猜测出 错时，要引导学生不能灰心，适时调 节自己的心理，学习科学家不畏艰难、 勇于探索的精神，以良好的心态投入 到新的创造活动中去，培养学生爱猜 想的良好学习习惯。注重学生猜想不 仅可以加强对学生创造性思维能力的 训练，还可以培养学生勇于开拓的精 神，大科学家牛顿有句名言：没有大 胆的猜想，就不可能有伟大的发现和 发明。我们应努力让学生的猜想贯穿 教学始终，让学生感受数学的乐趣。二、运用猜想思维的注
13、意点 学生的猜想是经过周密思考的， 符合逻辑性，颇像一个大数学家，但 更可能是稚嫩无据的，只是顽童小技； 学生的猜想状态可能是积极主动的， 但也有可能是消极被动的，这都是正 常的，教师要在学生的猜想中发挥主 导作用，引导他们去合理甚至求异地 猜想，使学生更具信心地猜想，更好 地发挥他们的创造性思维。 1.提高猜想的有效度 猜想可分为正向猜想与反向猜想。 正向就是学生根据已有的知识经验，按照常规有序的思考得到新知识，是 学生利用迁移学习新知识的一种重要 方法。例如，在复习平行四边形的面 积推导过程后，让学生猜想三角形或 梯形的面积计算方法该怎样推导，学 生很容易作出正向猜想。引导学生在 已有知识
14、的基础上再作新的猜想，长 此以往，学生将会比较自学地进行正 向猜想。反向猜想指的是换个角度甚 至从常规角度相反的方向猜想。当学 生按常规很难想到规律，当学生有了 几次失败的猜想以后，可引导他们根 据结果再反向进行猜想。这两种猜想 对学生来说，前者是基础，后者是创 新的灵魂，教师应重点训练前者，精 心设计后者。 2.猜想与验证相结合 任何猜想都需要经过验证才能确 定其普遍意义，猜想验证的过程，也 就是学生主动参与数学知识的探索过 程。只有猜想没有验证，那只能是空 想；而将猜想与验证紧密结合，才可 以产生猜想的良性循环。有的猜想通 过简单计算和操作马上就可以验证， 如猜想周长相同的矩形和圆谁的面积
15、 大，让学生通过随机计算，就可以得 出正确的结果。 3.用鼓励性评价对待猜想 学生的猜想不可能都是正确的， 而且往往是“异想天开” 。作为教师， 对待任何猜想，始终应该保持一条原 则，那就是进行鼓励性评价，保护学 生积极猜想的精神。教师对错误猜想 不能进行简单的否定，而要引导学生 仔细分析，然后再作新的猜想。 三、猜想思维在数学学习中的作 用 1.有利于学习兴趣的激发 兴趣是学习的最好老师，当学生 对某个学科、问题产生兴趣时，就会 积极思考，想方设法去解决所遇到的 问题。而猜想能调动学生的积极性， 因为猜想是从学生所熟悉的知识或事 实出发，这就降低了问题的难度，从而具有较好的可接受性。恰当地运用 猜想，容易使学生的兴趣放到被研究 的事物上来。例如，在学习完全平方 公式时，教师在黑板上先写上 15- 2、252、352、452等，然后问学
