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1、抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版1内容内容1.1. 若则的周期为。)()(Txfxf)(xfT2.2. 若则的周期为。 )()(bxfaxf)(xfabT证证：令 axx)()(abxfxf3.3. 若则的周期。)()(bxfaxf)(xfabT 2证证：令 axx)()(abxfxf令 bxx)()(xfbaxf由得： )()(abxfbaxf )()(abxfbaxfabT 24.4. 若则图象的对称轴为。)()(xbfxaf)(xf2bax证证：要证原结论成立只需证)2()2(xbafxbaf令代入 则xabx2)()(xbfxaf)2()2(xbafxbaf
2、5.5. 若则的图象，以为对称中心。)()(xbfxaf)(xf 0 ,2ba证证：方法一方法一：要证原结论成立只需证)2()2(xbafxbaf令代入 xabx2)()(xbfxaf则)2()2(xbafxbaf方法二方法二：设它的图象为 )(xfy C则关于点的对称点 CyxP),(00P 0 ,2ba),(00yxbaP)()()()(0000xfxbbfxbafxbaf 00)(yxf00)(yxbafCP抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版2【几个重要的结论几个重要的结论】 （一）函数图象本身的对称性（自身对称自身对称）1、函数满足（T 为常数）的充要条件)(
3、xfy )()(xTfxTf是的图象关于直线对称。)(xfy Tx 2、函数满足（T 为常数）的充要条件)(xfy )2()(xTfxf是的图象关于直线对称。)(xfy Tx 3、函数满足的充要条件)(xfy )()(xbfxaf是图象关于直线对称。)(xfy 22)()(baxbxax4、如果函数满足且， （和是不相等的常数） ，)(xfy )()(11xTfxTf)()(22xTfxTf1T2T则是以为为周期的周期函数。)(xfy )(212TT 5、如果奇函数满足（） ，)(xfy )()(xTfxTf0T则函数是以 4T 为周期的周期性函数。)(xfy 6、如果偶函数满足（） ，)(x
4、fy )()(xTfxTf0T则函数是以 2T 为周期的周期性函数。)(xfy （二）两个函数的图象对称性（相互对称相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线与关于 X 轴对称。)(xfy )(xfy2、曲线与关于 Y 轴对称。)(xfy )( xfy3、曲线与关于直线对称。)(xfy )2(xafyax 4、曲线关于直线对称曲线为。0),(yxfbx 0)2 ,( ybxf5、曲线关于直线对称曲线为。0),(yxf0cyx0),(cxcyf6、曲线关于直线对称曲线为。0),(yxf0cyx0),(cxcyf7、曲线关于点对称曲线为。0),(yxf),(baP0)2 ,2(y
5、bxaf注：注：一个结论：设一个结论：设，都有都有且且有有个实根个实根，则所有，则所有)(xfy Rx)2()(xafxf0)(xfk)2( k实根之和为实根之和为ka 【典型例题典型例题】抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版3【例 1】 对于，有下列命题。)(xfy Rx（1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。)1 (xfy)1 (xfy1x（2）若且均成立，则为偶函数。)1 ()1 (xfxf)2()2(xfxf)(xf（3）若恒成立，则为周期函数。) 1() 1(xfxf)(xfy （4）若为单调增函数，则也为单调增函数，其中正确的为)(xf)(xafy
6、) 10(aa、解：解：（2） （3）【例 2】若函数 有求。3)()(axxfRx)1 ()1 (xfxf)2()2( ff解：解： ，知的图象关于对称而的对称中心 Rx)1 ()1 (xfxf)(xf)0 , 1 (3)()(axxf) 0 ,( aP 则1a3) 1()( xxf26)3(1)2()2(3 ff【例 3】设是定义在上的函数，均有，当时，)(xfRRx0)2()(xfxf11x，求当时，的解析式。12)(xxf31 x)(xf解：解：由有得Rx)2()(xfxf4T 设则 ， 3 , 1 (x 1 , 1()2(x)()2()42()2(xfxfxfxf， 时52 1)2(
7、2)2()(xxxfxf31 x52)(xxf【例 4】已知是定义在上的函数且满足，当时有则)(xfR1) 1()(xfxf 1 , 0x2)(xxf（1）是周期函数且周期为， （2）当时，)(xf22 , 1 x22)(xxxf（3）其中正确的是？ 43)5 ,2004(f解：解：（1） （2） （3）【例 5】已知满足，当时)(xf)2()2(xfxf)4()4(xfxf26x且，若，求大小关系？cbxxxf2)(13)4(f)3(bfm )2(cfn )11(fp pnm、解：解：由已知得，对称轴 也为一条对称轴4T 4x4x 由 42b8b13)4(f134644c3c ， )38(f
8、m )23(fn )3()11(ffppmn抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版4【例 6】 设定义在上，有且当时，)(xfy RRnm ,)()()(nfmfnmf0x1)(0xf（1）求证：且当时， （2）求证：在上递减。1)0 f0x1)(xf)(xfR解：解：（1）在中，令得)()()(nfmfnmf01nm、)0() 1 () 1 (fff 设，则令代入条件式1) 1 (0 f1)0(f0x0 xxnxm 、有而 )()()0(xfxff1)0(f1)(1)(xfxf（2）设则 21xx 012 xx1)(012xxf令则代入条件式得21xnmxm、12xxn
9、)()()(1212xxfxfxf即 在上递减1)()(012xfxf)()(12xfxf)(xfR抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版5练习题 一、选择题1. 已知满足，且是奇函数，若则（ B ）)(xf)()3(xfxfRx)(xf2) 1 (f)2000(fA. B. C. D. 2223232. 已知是定义在上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，)(xfR)()4(xfxf20 x，当时，（ C ）xxf)(400398 x)(xfA. B. 398xC. D. 400x398xx400x398. 设是上的奇函数，当时，则（ B ）)(xfR)()2(xfxf1
10、0 xxxf)()5 . 7(fA. B. C. D. 5 . 05 . 05 . 15 . 1. 设，有那么（ A ）cbxxxf2)(tx)2()2(tftfA. B. C. D. )4() 1 ()2(fff)4()2() 1 (fff) 1 ()4()2(fff) 1 ()2()4(fff. 定义在上，则与的图象关于（ B ）)(xfy R) 1( xfy)1 (xfyA. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称0y0x1y1x. 偶函数的定义域为，且在上是增函数，则正确的为（ B ）)(xfR)0 ,(（A） （B）) 1()43(2aaff) 1()43(2aaff（C） （）。
11、) 1()43(2aaff) 1()43(2aaff7、已知函数对一切实数 x 满足，且方程有 5 个实根，则这)(xfy )4()2(xfxf0)(xf5 个实根之和为（ C ） A、5 B、10 C、15 D、18二、 填空题. 是上的奇函数，且，0。)(xfR)()2(xfxf)2003()3()2()(ffffL. 为奇函数，且当时，则当时。)(xf0x2)(xxxf0x)(xf2xx、已知函数满足，则图象关于对称。)(xfy 0)2()(xfxf)(xfy )0 , 1 (、函数与函数的图象关于关于对称。) 1( xfy)1 (xfy1x、设函数的定义域为 R，且满足，则的图象关于：
12、y 轴即)(xfy )1 () 1(xfxf)(xfy 抽象函数的周期性与对称性教师版抽象函数的周期性与对称性教师版6对称。0x、设函数的定义域为 R，且满足，则的图象关于 y 轴)(xfy )1 () 1(xfxf) 1( xfy对称。图象关于对称。)(xfy 1x、设的定义域为 R，且对任意，有，则图象关于)(xfy Rx)2()21 (xfxf)2( xfy 对称，关于对称。41x)(xfy 21x、设函数的定义域为 R，则下列命题中，若是偶函数，则图)(xfy )(xfy )2( xfy象关于 y 轴对称；若是偶函数，则图象关于直线对称；若)2( xfy)(xfy 2x，则函数图象关于
13、直线对称；与图象)2()2(xfxf)(xfy 2x)2( xfy)2(xfy关于直线对称，其中正确命题序号为 。2x三. 解答题. 设是定义在上的偶函数，图象关于对称,都)(xfR1x21, 021xx 、且。 （1）求、 （2）证明：是周期函)()()(2121xfxfxxf0) 1 ( af)21(f)41(f)(xf数解：（1） 都有21, 0,21xx)()()(2121xfxfxxf 0)2()2()(xfxfxf 1 , 0x2)21()21()21()21 21() 1 (fffff ， 21 )21(af2)41()41 41()21(fff41 )41(af（2）由已知关于对称 即，)(xf1x)11 ()(xfxf)2()(xfxfRx又由是偶函数知，)(xf)()(xfxfRx ，将上式中以代换得)2()(xfxfRxxx)2()(xfxf 是上的周期函数，且是它的一个周期)(xfR2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足)(xfy ax )(babx。)()(2xfxbaf证： 关于和对称 ， )(xfax bx )2
