二次谐波的产生及其解

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1、12.3 二次谐波的产生及其解二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应 用，如 Nd:YAG 激光器的基频光(1.064m)倍频成 0.532m 绿光，或继续将0.532m 激光倍频到 0.266m 紫外区域。本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解， 并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。2.3.1 二次谐波的产生二次谐波的产生设基频波的频率为，复振幅为；二次谐波的频率为，复11Eu r2212振幅。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度，辐射出的二次谐波2Eu r 2Pu r场所满足的非线性极化耦合波方程 3Ezu r(2.

2、3.1-1) 222202222ik zdEziPz edzk u ru r(2.3.1-2) 122 2110211;,ik zPzz Ez e u ru ru rt注意简并度，1D 212(2.3.1-3) 22202110211 22111211 2;,2;,i kzi kzdEziEz Ez edzkiEz Ez en c u ru ru rtu ru rt波矢失配量， (2.3.1-4)122kkk 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式，基频光场可能有两种偏振方向，即，两种偏振方向可以是333Ea Eu rr 1111,a E a Err相互平行也可以是相互

3、垂直，并有331aarr(2.3.1-5) 22212112111 2;,i kzdEziaa aEz edzn c rr rt基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度，辐射出基频光场满足 2 1Pu r的非线性极化耦合波方程。(2.3.1-6) 122101112ik zdEziPz edzk u ru r2(2.3.1-7) 21*2() 12101212;,i kkzPzz Ez e u ru ru rt(2.3.1-8) 21*112112121 1;,:i kzdEziaa az Ez edznc rr rt如果介质对频率为的光波都是无耗的，即远离共振区，则13, 13, 都是实数

4、。 22 311131;,;, 进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：(2.3.1-10) 2(2) 1211212 211211;,:;,effaa aaa a rr rrr rt二次谐波的耦合波方程组为: (2.3.1-11) 21*1 21 1i kz effdEziEz Ez edzcn (2.3.1-12) 2221 1 2i kz effdEziEz edzcn2.3.2 二次谐波的小信号解二次谐波的小信号解1、小信号解 在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，(2.3.2-1) 10dEz dz并由边界条件，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-1

5、2)积分得： 200ELE (0)1E (0)=03 图 1 倍频边界条件 3(2.3.2-2) 22 21 2222 1 210sin20/2i kLeffi kL effeELEcnkkLiELecnkL二次谐波的光强为：(2.3.2-3) 2202222 2421 0212 2222420 1 21 2sin12022102effeffILcn ELkLcnEn ckLLEcn 利用有效倍频系数(有效非线性光学系数)212(2.3.2-4) 22effeffd和函数定义 ， (2.3.2-5) sinsinxc xx以及 (2.3.2-6) 21011102Icn E得到小信号近似下的二

6、次谐波解(2.3.2-7)222 0221 2 201222 22 132 021421sin228sin2effeffdIkLILccncndLkLIcc n n 小信号近似下倍频效率： (2.3.2-8)222 22 132 10138sin2effdLPkLIcPc n n倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。 同时由曼利罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波 光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方。 22 e2、二次谐波解的讨论4定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的宽度，定义允许的kL 相位失配量(2.3.

7、2-9)0.886 /BWkL定义相干长度：如果相位失配量，使倍频光强单调增长的一段距离为0k 相干长度cL(2.3.2-10)cLk由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位 匹配条件，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光0k 的强度。图 2 函数2sinckL图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系52.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗）二次谐波的大信号解（基频波存在损耗）产生二次谐波的耦合波方程为(2.3.3-1) 21*1 21 12221 1 2i kz effi kz effdEziEz Ez edzcndEziEz edzc

8、n 讨论在相位匹配条件下，即，此时基频波和二次谐波的折射率相等，0k 如果基频波存在损耗， 12nn10dE dz二次谐波耦合波方程变为：(2.3.3-2) 21* 21 1222 1 1effeffdEziEz EzdzcndEziEzdzcn类似于曼利罗关系，作运算，得到* 1122d E Ed E Edzdz常数 (2.3.3-3) 2212EzEz由初始条件 2100;00EE(2.3.3-4) 2221210EzEzE(2.3.3-5) 2 2122 12 10effd EzEEzdznc 考虑到积分方程：(2.3.3-6)1 221tanhdxx axaa将(2.3.3-5)整理成

9、上式形式(2.3.3-7) 22211 22 111121tanh000effd EzEzzncEEEEz 表示为： 2Ez6(2.3.3-8) 21 211 10 tanh0effEzEEznc定义倍频特征长度 (2.3.3-9) 121 1 10SHeffLEnc二次谐波光强为：(2.3.3-10) 2202222 0112 11 2 10tanh20 tanhSHSHIzcn Ezzcn ELzIL二次谐波与入射基频波光强比值： (2.3.3-11) 221( )tanh0SHGIzz IL基频光在晶体内光强为：(2.3.3-13) 210112201122 11 2 1020 sechSHGIzcn EzcnEEzLIL(2.3.3-14) 2sech0SHGIz IL图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系7相干长度还可写为：(2.3.2-15)11 133 012 2eff SHdLI n c 如 LiNbO3 晶体，非线性倍频系数，基频光波长95.4 10 m/Veffd1.064m，折射率 2.2，基频光光强 25 MW/cm2，求得倍频特征长度为 3.7cm。