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1、1大学概率论课后习题答案大学概率论课后习题答案（A）1、写出下列随机现象的基本事件空间（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面；（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；（3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；解（1）若 i “有i枚正面朝上”2 , 1 , 0 i，则),210 （2）用),(yx表示“第一次投出x点，第二次投出y点”，则6 , 2 , 1,),(L yxyx（3）若 i “射击i次才命中目标”L, 2 , 1 i，则Nii， N为自然数集。2、在分别标有9 , 1 , 0L数字的 10 张卡片中任取一张，令A表示事件“抽得一张
2、标号不大于 3 的卡片”；B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C表示事件“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：BAU，AB，B，BA，AB，BC，CBU，CBAIU)(解 令i表示“抽得一张标号为i的卡片”9 , 1 , 0L i，则3 , 2 , 1 , 0 A，8 , 6 , 4 , 2 , 0 B，9 , 7 , 5 , 3 , 1 C。因此，8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 BAU，2 , 0 AB，9 , 7 , 5 , 3 , 1 CB，3 , 1 BA，8 , 6 , 4 AB， BC， CB U，3 , 1)( CBAIU3、某厂生产流水
3、线上甲、乙、丙 3 部机床是独立工作的，并由一人看管，若用CBA,分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用CBA,表示下列事件:2（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。解 （1）ABC或CBA（2）CBACBACBACBA或CBCABA4、判断下列结论是否正确（1）BAABABA（2）AB)BA(（3）AB)BA(（4）)CB(AC)BA(解 （1） （2） （3） （4）5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明（1）)(CBBA（2）)(BABA （3）)()(BABABA解 （1）ACBCBBA )(（图示略）证明：)()()(CBB
4、CBACBBA BACAB ACBAB ACBAB )(ACB （2）ABABA )(（图示略）证明：)()()(BABBAABABA BBBAA BAA A （3）ABBABABA )()(（图示略）3证明：)()()(BBABABAABABABABA )(ABABBA ABBBABABAAAB ABAB AB 6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。解 43 )(AP7、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任取mn （bman ,），求所取的球恰有n个白球和m个黑球的概率。解 mn bam bn a CCCAP )(8、盒中有a个白球，及b个黑球，从中任意接连取1k次（bak1），
5、球被取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。解 baa PPCAPk bak baa 111 )(9、 有r封信随机地投入n个邮筒，求下列事件的概率:（1）某指定k)(rk 个邮筒中各只有一封信；（2）有k)(rk 个邮筒中各只有一封信；（3）某指定的一个邮筒中恰有)(rkk封信.解 因为每一封信都有n个邮筒可供选择，所以r封信投放到n个邮筒共有rn种。（1）某指定k)(rk 个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为krk rknkC )( !，于是，所求的概率为4rkrk r nknkCP )( !1（2）有k)(rk 个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为krk rk nknkCC )( !，
6、于是，所求的概率为rkrk rk n nknkCCP )( !2（3）某指定的一个邮筒中恰有)(rkk封信，其可能的总数为krk rnC )(1，于是，所求的概率为rkrk r nnCP )(1310、从正整数 1、2、N 中有放回地抽取n个数，求抽到的最大数恰好是k的概率解 “所取数不大于k”与“所取数不大于1k”的差额即“所取数的最大者k”。因此，所求的概率 pnnnNkk) 1( 11、自前n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率p。解 这是一道古典型概率的题引进事件A取出的两个数之和是偶数若kn2为偶数，则自前n个正整数中随意取出两个数有2Cn种不同取法，其中导致事件A的有
7、2C2k种（“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各2Ck种），因此) 1(22 C2C)(22nnAnkP 5若12 kn为奇数，则自前n个正整数中随意取出两个数有2Cn种不同取法，其中导致事件A的有2 12CCkk种（“取到两个偶数”的2Ck种，“取到两个奇数”的2 1Ck种），因此nn nnkAnkk 21 ) 1(2 CCC)(222 12P 于是，两个数之和是偶数的概率为 为奇数，若为偶数，若nnnnnnp21) 1(2212、从n双不同的手套中任取k2只，求其中恰有)(2kmm只配成m双的概率。解 k nmkmk mnm n CCCp2 2)(2)(22 13、某地铁每隔五分钟有一列车
8、通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。解 设 A=每一个乘客等车时间不多于 2 分钟，乘客到该站时刻为,(21TTT ，1T为前一列车开出时刻，2T为后一列车到达时刻，512TT，)2(2TTA，由几何概型的概率得52)(AP.14、设事件A与B互不相容，且pAP )(，qBP )(，求)(ABP，)(BAP ，)( BAP，)(BAP解 0 )(ABP，qpBAP )(，pBAP )(，qpBAP 1)(15、盒中有 10 个球，6 个白球，4 个黑球，从中一次任取 3 球。求至少有一个白球的概率。解 记 A“至少有一个白球”，则 A“均为黑球
9、”。63029113 103 4 CCAPAP)()(16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于 3 的概率。解 记iA“第i颗的点数大于 3”21, i，21 6321 )()(APAP，41 632221 )(AAP。43 41 21 21212121 )()()()(AAPAPAPAAP。17、设CBA,为事件,证明:)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()()()(CPBPAPCBAP提示：利用两个事件的广义可加性18、将一枚硬币重复掷12 kn次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。解 设A正面出现的次数多于反面，则A正面出现的
10、次数不多于反面由于掷的次数12 kn是奇数，可见A正面出现的次数小于正面于是，由对称性知A和A的概率相等：21)()(AAPP19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区1E，2E和3E的各 2 节、3 节和4 节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率解用乘法公式来解引进事件：iB发往iE的车皮相邻)3 , 2 , 1( i将发往21,EE和3E三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3=6 种不同情形，其中每种情形对应1B,2B和3B的一种排列，且 6 种排列都是7等可能的，因此)(6321BBBpP由乘法公式，有.126011567! 38
11、9! 2)|()|()()(213121321BBBBBBBBBPPPP0048. 02101 12606)(6321BBBP20、某市一项调查表明:该市有 30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记E“学生视力有缺陷”，H“学生听力有缺陷”，EH“学生视力与听力都有缺陷”。（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；（2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；（4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；（5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。解 （1）1 . 03 . 0
12、 03. 0)()()(EPHEPEHP（2）73 07. 003. 0 )()()(HPEHPHEP（3）04. 007. 0)731 ()()(1 ()()()(HPHEPHPHEPHEP（4）270030101.).()()()( EPEHPHEP（5）66. 0)()()(1)(1)()(EHPHPEPHEPHEPHEPUU21、 10 件产品，其中 6 件合格品，4 件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。解 令 A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则“第二次才取到正品”=BA154 96 104)/()()(ABPAPBAP822、设 10 件产品
13、中有 4 件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。解 设iA任取两件恰有i件不合格品，2 , 1i。51)1/()()( )()()(2 102 6 2 102 421221212 212CC CC AAPAP AAPAAAPAAAP或 设iA表示第i件不合格，2 , 1i 。51)1/()()()(2 102 6 2 102 42121 2121CC CC AAPAAPAAAAP23、10 个考签中有 4 个难签，甲、已、丙 3 人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；
14、（4）甲、已、丙都抽到难签。解 设CBA,分别表示甲、已、丙抽到难签。（1）104 )(AP；（2）152 93 104 )()()(ABPAPABP（3）154 94 106 )()()(ABPAPBAP（4）301 82 93 104 )()()()(ABCPABPAPABCP24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第n次取到红球的概率解 设iA=“第i次取球取得白球”ni, 2 , 1L则nnAAAA121L“第k次取到红球”，在第k次取球时，盒中共有k个白球和一个红球，所以9)(121nnAAAAPL)()()()(1212211121nnnnAAAAPAAAAPAAPAPLLL)
