公务员考试 数学类

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1、公务员考试公务员考试 数学类数学类数学基础知识数学推理比较弱的一定要看基础知识 如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。如只能说 16 是某数的倍数，2 是某数的约数，而不能孤立地说 16 是倍数，2 是约数。 ”倍”与”倍数”是不同的两个概念， ”倍”是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。 ”倍数”只是在数的整除的范围内，相对于”约数”而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。 几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大

2、公约数。例如：12、16 的公约数有1、2、4，其中最大的一个是 4， 4 是 12 与 16 的最大公约数，一般记为（12、16）=4。12、15、18 的最大公约数是 3，记为（12、15、18）=3。 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4 的倍数有 4、8、12、 16，6 的倍数有6、12、18、24，4 和 6 的公倍数有 12、24，其中最小的是 12，一般记为4、6=12。12、15、18 的最小公倍数是 180。记为12、15、18=180。 1、 分解质因数法 把每个数分别分解质因数，再把各数

3、中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是 这几个数的最大公约数。例如：求 24 和 60 的最大公约数，先分解质因数，得 24=223，60=2235，24 与 60 的全部公有的质因数是 2、2、3，它们的积是 223=12， 所以， （24、60）=12。 把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求 6 和 15 的最小公倍数。先分解质因数，得6=23，15=35，6 和 15 的全部公有的质因数是 3，6 独有质因数是 2，15 独有的质因数是 5，235=30，30 里面包含 6 的全部质因数 2 和

4、 3，还包含了 15 的全部质因数 3 和 5，且 30 是 6 和 15 的公倍数中最小的一个，所以6，15=30。 2、 短除法 短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然 后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求 24、48、60 的最大公约数。 （24、48、60）=232=12 短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求 12、15、18 的最小公倍数。

5、 （12、15、18）=32253=180 无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。 3、 辗转相除法 先看一个例子：从一张长 2002 毫米，宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能 大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_毫米。 解：剪的过程如图所示 第一， 二次剪下 848847 平方毫米的正方形。 第二， 三次剪下边长 308 毫米的正方形 第五次剪下边长 231 毫米的正方形。 第六、七、八次剪下边长 77 毫米的正方形。 以上的解

6、题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法-辗转相除法。以上过程可用算式表示如下： 2002=8472+308 847=3082+231 308=2312+77 231=773 由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零。最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿此题来讲，2002 和 847 的公约数，也就是 847 和 308 的公约数。由于 231 是 77 的倍数，所以它们的最大公约数就是 77，即 2002 与 847 的最大公约数。 辗转相除法的竖式格式如下：

7、在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论： （1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积。 例如 8 和 9，它们是互质数，所以（8，9）=1，8，9=72。 （2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。 例如 18 与 3，183=6，所以（18，3）=3，18，3=18。 （3）两上数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。 例如 8 和 14 分别除以它们的最大公约数 2，所得的商分别为 4 和7，那么 4 和 7 是互质数。 （4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数

8、的乘积等于这两个数的乘积。 例如 12 和 16， （12，16）=4，12，16=48，有 448=1216，即（12，16）12，16=1216。 replyview高中代数：排列、组合 看了点概率论，竟然忘记 排列、组合 ，又从箱子底翻出高中代数下册，重温 排列、组合 的概念。 . 附：阶乘、排列、组合 公式计算程序 加法原理：做一件事，完成它可以有 N 类加法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 种不同的方法，.，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法。那么完成这件事共有 N=M1+M2+.+MN 种不同的方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步

9、骤，做第一步有 M1种不同的方法，做第二步有 M2 种不同的方法，.，做第 N 步有 MN种不同的方法，那么完成这件事共有 N=M1M2. MN 种不同的方法。 排列：从 N 个不同元素中，任取 M（M=N）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个排列。 排列数：从 N 个不同元素中取出 M（M=N）个元素的所有排列的个数，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的排列数。记作：Pmn 排列数公式： Pmn =n(n-1)(n-2).(n-m+1) 全排列：N 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 N 个不同元素的一个全排列。 自然数 1 到 N 的连乘积，

10、叫做 N 的阶乘。记作：n! （0!=1） 全排列公式： Pnn =n! 排列数公式还可写成： Pmn = n!/(n-m)! 组合：从 N 个不同元素中，任取 M（M=N）个元素并成一组，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个组合。 排列 与元素的顺序有关， 组合 与元素的顺序无关。 组合数：从 N 个不同元素中取出 M（M=N）个元素的所有组合的个数，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的组合数。记作：Cmn 组合数公式： Cmn = Pmn / Pmm = n(n-1)(n-2).(n-m+1)/m! = n!/m!/(n-m)! 组合性质 1： Cmn = Cn-mn (

11、C0n =1) 组合性质 2： Cmn+1 = Cmn + Cm-1n 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例题分析排列组合思维方法选讲 1首先明确任务的意义 例 1.

12、从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定， 又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：从 1，3，5，19或 2，4，6，8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为 2=180。 例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐

13、层深入 （一）从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为：=56。 2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例 3在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A，B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有_种。 分析：条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组

14、合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择； 第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择； 第三类：A 在第三垄，B 有一种选择， 同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。 例 4从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从 6 双中选出一双同色的手套，有种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。 （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法； （四）由于选取与顺序无关，因而（二） （三）中的选法重复一次，因而共 2

15、40 种。 例 5身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90 种。 例 6在 11 名工人中，有 5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工，4 人当车工，问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 第一类：这两个人都去当钳工，有 C(5.2)*C(4.4)=10 种； 第二类：这两人有一个去当钳工，有 C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100 种；第三类：这两人都不去当钳工，有 C(5.4)*C(6.4)=75 种。 因而共有 185 种。 例 7现有印着 0，l，3，5，7，9 的六张卡片，如果允许 9 可以作6 用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：有同学认为只要把 0，l，3，5，7，9 的排法数乘以 2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换，因而必须分类。