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1、广西师范大学硕士学位论文动力系统中周期伪轨跟踪性的研究姓名：张莉申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：赵俊玲20090401广 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 I 动力系统中周期伪轨跟踪性的研究动力系统中周期伪轨跟踪性的研究 研究生：张莉 导师：赵俊玲副教授 学科专业：应用数学 研究方向：动力系统 年级：2006 级 摘摘 要要 伪轨跟踪性和周期伪轨跟踪性都是伴随着微分动力系统中结构稳定性的研究与发展而产生的，它们都与系统的稳定性有着密切的联系，在动力系统理论中起着重要的作用，在数值分析上也有着广泛的应用，因而引起了人们的极大关注.人们关于伪轨跟踪性本身的性质，伪轨跟踪性在具体
2、空间上的等价刻画，伪轨跟踪性与稳定性的关系及与混沌、拓扑熵和遍历性等概念的联系等方面做了大量深入的研究，得到了许多很好的结果. 本文主要研究了伪轨跟踪性与周期伪轨跟踪性的关系，周期伪轨跟踪性本身的性质及与回复性的关系， 给出了具有周期跟踪性的同胚在区间和圆周上的刻画，并证明了紧致流形上拓扑稳定的同胚具有周期伪轨跟踪性. 全文由四章组成，第一章对跟踪性研究的背景作了简单介绍，并介绍了有关拓扑动力系统的一些基本概念和已知结果. 在第二章，我们讨论了周期伪轨跟踪性的一些基本性质，如在迭代下的不变性、乘积空间的保持性及拓扑共轭不变性. 在第三章，我们主要讨论了周期伪轨跟踪性与伪轨跟踪性的关系，给出了一
3、个具有伪轨跟踪性，但不具有周期伪轨跟踪性的例子，以及伪轨跟踪性成为周期伪轨跟踪性的两个充分条件. 在第四章，我们给出了具有周期伪轨跟踪性的同胚在区间和圆周上的刻画，并证明了紧致流形上拓扑稳定的同胚具有周期伪轨跟踪性. 关键词：关键词：伪轨跟踪性 周期伪轨跟踪性 极限点 链回归点 可扩 广 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 II The Study of Periodic Pseudo-orbit Tracing Property in Dynamical System Graduate student: ZhangLi Supervisor: A.Prof. ZhaoJunling
4、Major: Applied Mathematics Direction: Dynamical System Grade:2006 Abstract The pseudo-orbit tracing property (POTP) and the periodic pseudo-orbit tracing property (PPOTP) were generated along with the study and development of the stability in dynamical system. These two properties are closely relate
5、d with the stability and play an important role in the general qualitative theory of dynamical systems. They are also widely applied in the field of numerical analysis. Theory of shadowing was developed intensively in recent years and obtained a lot of perfect and deep results. In this paper, we mai
6、nly study the relations between the pseudo-orbit tracing property (POTP) and the periodic pseudo-orbit tracing property (PPOTP).We obtain some results of the periodic pseudo-orbit tracing property (PPOTP). This thesis consists of four chapters. In the first chapter, we introduce the background of th
7、e pseudo-orbit tracing property (POTP) and the periodic pseudo-orbit tracing property (PPOTP) and in the same time we state some basic notions and accepted results. In the second chapter, we discuss the basic properties of PPOTP, such as invariability under the iteration, keep property of product sp
8、ace, topologically conjugate fixity and so on. In the third chapter, we discuss the relations between the POTP and PPOTP. We give an example which has POTP, but it has not PPOTP.Section 3.2 gives two sufficient conditions forfhaving POTP, thenfhaving PPOTP. Chapter four we describe the homeomorphism
9、s of PPOTP on intervals and circles. In the end, we prove the homeomorphism of topological stable has PPOTP in compact flow. Key words: pseudo-orbit tracing property (POPT); periodic pseudo-orbit tracing property (PPOPT); limit point; chain recurrent point; expansive 论文独创性声明论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本
10、人在导师的指导下进行的研究工作及取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 日期： 论文使用授权声明论文使用授权声明 本人完全了解广西师范大学有关保留、使用学位论文的规定。广西师范大学、中国科学技术信息研究所、清华大学论文合作部，有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部
11、分内容。论文的公布（包括刊登）授权广西师范大学学位办办理。 研究生签名： 日期： 导 师 签 名： 日期： 致致 谢谢 本篇论文是在赵俊玲副教授的精心指导下完成的，从论文的选题到撰写，赵老师都提出了宝贵的意见并给予了极大的帮助。三年来, 导师不仅在学业上严格要求我, 而且在生活上也无微不至的关怀我, 使我能全身心地投入到专业知识的学习和论文课题的相关工作中, 我所取得的每一点进步都凝聚着导师辛勤的汗水。 同时, 赵老师渊博的专业知识、严谨的治学态度、崇高的敬业精神和高尚的人格魅力始终感染着我，是我永远学习的榜样, 并将成为我终身受益的宝贵精神财富。在此，谨向我的导师表示最诚挚的谢意！ 感谢数学
12、科学学院对我三年的精心培养，为我提供良好的学习环境和继续深造学习的机会。感谢邓培民、范江华、韦煜明、韦健、冯春华等老师把渊博的知识传授给我，并给予我许多关心和帮助。感谢唐织辉、吉秀芳老师给予我生活以及精神上的鼓励与支持。 感谢我的同窗好友们，特别是徐香萍、杨秋鸿、庞红霞、江涛、周双，感谢你们的关心和无私的帮助，在学业和生活上的互帮互助让我感受到了集体的温暖。 感谢我的家人，正是他们对我的关爱、支持和鼓励，我才能得以顺利完成学业。 最后，感谢各位答辩委员在百忙之中抽出时间对本论文进行认真审阅和批评, 本论文仍有诸多亟待改进和不足之处, 敬请各位专家提出宝贵意见和建议.对你们付出的辛勤劳动表示诚挚
13、的感谢！广 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 第一章第一章 引言引言 1.1 动力系统及跟踪性的研究背景动力系统及跟踪性的研究背景 上世纪末到本世纪初，Poincar 等人从经典力学和微分方程定性理论的研究中，提出了动力系统的概念.Birkhoff 又以三体问题为背景扩展了动力系统的研究， 并出版了专著动力系统 ，这标志着动力系统理论的正式诞生.20 世纪 30 年代，Markov 集结了 Birkhoff 的理论，提出了动力系统的抽象概念，进一步推动了动力系统的发展.微分动力系统的现代研究，则始于 20 世纪 60 年代初，在以 Smale 为首的一批著名学者的倡导和推动下，微
14、分动力系统的基本理论取得了重大进展，其影响历久不衰. 伪轨跟踪性是伴随着结构稳定性理论的研究与发展而产生的，经过 30 多年的研究与发展，伪轨跟踪性不仅成为动力系统理论研究中十分重要的概念，而且也成为了动力系统理论中最重要的动力性质和技术性工具.从相关文献中可以看到，与其相关的研究几乎涉及到动力系统的各个内容，如稳定性理论、混沌现象的存在性、近似计算和误差估计等. 伪轨跟踪性质研究的是一个映射下的伪轨能否被真轨跟踪.“伪轨”不是真正的轨道,它是带有误差的映射迭代下的“轨迹”.伪轨跟踪性质与系统的稳定性态和混沌性态都有密切的关系,在动力系统的定性理论中起着重要的作用.在数值分析上也有着广泛的应用
15、，因而引起了人们的极大关注.人们关于伪轨跟踪性本身的性质，伪轨跟踪性在具体空间上的等价刻画，伪轨跟踪性与稳定性的关系及与混沌、拓扑熵和遍历性等概念的联系等方面做了大量深入的研究，得到了许多很好的结果。 基于理论和应用的需要， 人们又从不同的角度和度量标准出发相继提出了不同的伪轨概念.基于微分方程定性理论研究闭轨道的问题，提出了周期伪轨跟踪的概念.文献12对周期伪轨跟踪性做了一部分研究,证明了在紧致光滑流形上所有同胚的集合中,周期伪轨跟踪性是0C通有的,通有性或贝尔剩余集是一个比处处稠密更占优势的概念.目前关于周期伪轨跟踪性的研究尚处在起步阶段,研究成果还很少,有很多未知的性质有待进一步探讨.
16、本文主要研究周期伪轨跟踪性.从定义可以看出周期伪轨跟踪性比伪轨跟踪性强,但在以往的文献中还没有见到具有周期伪轨跟踪性,但不具有伪轨跟踪性的例子,经查阅相关的文献也没有见到类似的例子.Aoki 在文献3中证明了:若紧致度量空间广 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 上的自映射f具有伪轨跟踪性,则非游荡点集()( f)等于链回归点集()( fCR).文献23 中将其结果继续加强,得到若f具有伪轨跟踪性,则)()(fAPfCR=.我们在3.1 中证明了,若f具有周期伪轨跟踪性,则)()(fPfCR=.根据此性质举例说明了周期伪轨跟踪性的概念确实比伪轨跟踪性强. 那么在什么条件下伪轨跟踪性能够成为周期伪轨跟踪性呢？在3.2 中我们给出了两个充分条件使得伪轨跟踪成为周期伪轨跟踪,并举例说明了它们的应用.文献
