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1、平面度误差最小区域新算法 有序判别法张之江于瀛洁张善钟(哈尔滨工业大学机电学院 ,哈尔滨 150001)摘要 提出一种平面度误差最小区域新算法 有序判别法 。该方法以最小区域准则为基础 ,直接以排序的高点和低点构成的初始评定平面进行最小包容区域的判定和搜索 ,最终求得平 面度误差值 。该方法易于理解和掌握 ,搜索判别有序 。实例运算表明 , 首轮搜索成功率高 、 速度快 。关键词 : 平面度 最小区域法 误差1引言目前对平面度误差最小区域算法研究有不少1 - 3。通常 ,由于某些算法物理几何概念不够清晰 ,层次不明 ,搜索盲目性大 ,既影响运算速度又影响读者对方法的掌握和理解 ,不利于方 法在
2、实际中应用 。为此 ,作者提出一种新的平面度误差最小区域算法 有序判别法 。为使平面度误差计算结果精确唯一 ,其根本问题是要确定符合最小区域的两个包容平面 。 判别包容所有测量数据的两平行平面是否符合最小区域 ,有三条判别准则4 ,5,即 :(1) 三角形准则 (图 1a)两平行平面之一至少含有三个等值最高 ( 低) 点 ,另一平面至少 含有一个最低 (高) 点 ,且该最低 (高) 点的投影在三个等值最高 (低) 点组成的三角形之内 。(2) 交叉准则 (图 1b)两平行平面之一至少含有两个等值最高点 ,另一个平面至少含有两个等值最低点 ,且前两点连线的投影与后两点连线互相交叉 。(3) 直线
3、准则 (图 1c)两平行平面之一至少含有一个最高 ( 低) 点 ,另一平面至少含有两 个等值最低 (高) 点 ,且该最高 (低) 点的投影处于两等值最低 (高) 点的连线上 。图 1 当符合上述三条准则中的任一条时 ,则包容所有测量数据的两平行包容面便为符合最小本文于 1996 - 04 - 03 收到 ,1997 - 05 - 11 修改收到 。16计量学报1998 年 1 月区域的包容面 。2 最小区域新算法的原理及步骤211采样点偏差值的分区和排序21111分区 先求各采样点偏差值的最小二乘平面方程 , 设该平面方程为 :z = a x + by + c 则各采样点到最小二乘平面的沿 z
4、 轴的距离z i 为 : z i = z i - ( a x + by + c)式中 z i 为各采样点的偏差值 。然后以最小二乘平面为分界面 , 将采样点区分为高点和低点 。 即将z i( 1)( 2) 0 的点 , 也就是 位于最小二乘平面上方的点称为高点 ; 将z i 0 的点) 按高低次序排序 。 高的点 (z i 值大的点) 在前 , 低的点 (z i 值小 的点) 在后 。 对于等高的点 , 即z i 值相同的点 , 则按该点离最高点位置远近排序 , 远的排在前 ,近的排在后 。 这样 , 得高点排序为 z 高1 、z 高2 、z 高3 、; 同样 , 对各低点 (z i 0 的点
5、) 也做类 似的排序 , 即由低到高 , 由远到近 , 得低点排序为 z 低1 、z 低2 、z 低3 、212判别准则的初步判断。由于最小二乘平面与实际的最小包容面的方位比较接近 。 因此若以上述分区排序所得的 几个最高点和最低点所构成的两平行平面作为搜索平面度误差值的初始的两评定平面 , 则该 两平面很有可能即为所要求的两包容面 。 但是 , 当测量数据按最小区域三个准则中的某一个准 则评定时 , 其求初始评定平面的方法有所不同 。 为此 , 对某一组测量数据 , 先要初步判断该组数 据可能符合最小区域三个准则中的哪一个准则 。21211三角形准则的初步判别如图 2a , 设 A 、B 、
6、C 点为分区排序的第 1 、 第 2 、 第 3 高 ( 低) 点在 x oy 面上的投影 , D 点为 分区排序的最低 ( 高) 点在 x oy 面上的投影 , 若 D 点落在A B C 中 , 则有 :A B C=1 + 2 3 + 4 5 + 6( 3)式中 1 6 均不为零 。 若判别满足条件 ( 3) , 则该组测量数据可初步按符合三角形准则转入下一步计算 。21212交叉准则的初步判别如图 2b , 设 E 、F 点和 G 、H 点为分区排序结果的第 1 、 第 2 高点和第 1 、 第 2 低点在 x oy 平 面上的投影 , 若 E F 和 G H 两线相交 , 则有 I 点同
7、时过 E F 线及 G H 线 , 且EI + I F = E F( 4) GI + I H = G H 若判别满足条件 ( 4) , 则该组数据可初步按符合交叉准则转入下一步计算 。21213直线准则的初步判别第 19 卷 第 1 期张之江等 : 平面度误差最小区域新算法 有序判别法17如图 2c , 设 K 、L 为分区排序的第 1 、 第 2 高 ( 低) 点在 x oy 面上的投影 , M 为分区排序的最 低 ( 高) 点在 x oy 面上的投影 。 若 M 点落在直线 KL 上 , 则有 :KM + M L = KL 若判别满足条件 ( 5) , 则该组数据可初步按符合直线准则转入下
8、一步计算 。( 5)图 2213建立评定平面及求解相应的平面度误差值根据对判别准则的初步判断结果 , 可分别按不同情况建立评定平面并求出相应的平面度 误差值 。21311按三角形准则评定时的评定平面的建立及平面度误差值的求解此时 , 初步判别满足条件 ( 3) , 设过三个高 ( 低) 点的平面方程为 :z = a1 x + b1 y + c1( 6)因三个高 ( 低) 点已知 , 故 a1 、b1 、c1 均可求出 。 又设过最低 ( 高) 点且平行于平面方程 ( 6) 的平 面方程为 :z = a1x + b1y + c1 因两平面平行 , 故 a1= a1 、b1= b1 , 又最低 (
9、 高) 点为已知 , 因此 c1即可求出 。( 7)若经检验两平面方程 ( 6) 与 ( 7) 包容所有测量数据 , 则该两平行平面即为符合最小区域的 两包容面 。 此时 , 平面度误差值 f 1 即为两平行平面沿 z 轴的距离 , 可由下式求得 :f 1 = | c1 - c1| 按交叉准则评定时的评定平面的建立及平面度误差值的求解( 8)21312此时 , 初步判别满足条件 ( 4) , 设过第 1 、 第 2 高 ( 低) 点的平面方程为 :z = a2 x + b2 y + c2 过第 1 、 第 2 低 ( 高) 点且平行于平面 ( 9) 的平面方程为 :z = a2x + b2y
10、+ c2( 9)( 10)因两平面平行 , 因此 a2= a2 、b2= b2 , 又因两个高点及两个低点均已知 , 因此方程 ( 9) 、( 10) 中的四个未知数 a2 ( a2) 、b2 ( b2) 、c2 、c2均可求出 。若经检验两平面方程 ( 9) 与 ( 10) 包容所有测量数据 , 则该两平行平面即为符合最小区域 的两包容面 。 此时 , 平面度误差值 f 2 即为两平行平面沿 z 轴的距离 , 可由下式求得 :( 11)f 2 = | c2 - c2| 按直线准则评定时的评定平面的建立及平面度误差值的求解21313若初判测量数据按直线准则评定时 , 则两个评定平面之一通过分区
11、排序的第 1 、 第 2 高(低) 点 , 另一个通过分区排序的最低 ( 高) 点 。 但是这两个平行评定平面的方位原理上可有无 穷多个 。 因此 , 这时建立评定平面的方法与前两种情况有所不同 , 其方法如下 :如图 3 。 设 P1 、P2 为分区排序的第 1 、 第 2 高点 , P3 为分区排序的最低点 。 经初步判别 , 已知P1 、P2 、P3 三点在 x oy 平面上的投影在一条直线上 , 因此过 P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 、P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 、 P3 ( x 3 , y3 , z 3 ) 三点所作的平面 平行于 z 轴 , 即平面
12、 的方程为 :a3 x + b3 y + c3 = 0 以 P1 、P2 两点代入式 ( 12) , 解之有 :( 12)y 2 - y 1 x 2 - x 1 a3 =x 1 y2 c3 ;b3 =y 2 x 1 - y 1 x 2 c3x 2 y 1 -取 c3= 1 , 则 :y 2 -y 1a3 =x 2 y 1 -x 2 -x 1 y2x 1图 3b3 =4。y 2 x 1 -y 1 x 2( 16)根据两平面夹角公式 , 平面 和平面 之间的夹角 为 :a3 a3+ b3 b3co s =( 17) a22223 + b3a3 + b3 + 1以公式 ( 15) 代入公式 ( 17
13、) , 简化之有 :ab32 - bb3+ c = 0 其中 :( 18)a = ( a3 k + b3 ) 2 - co s2( a2 + b2 ) ( k 2 + 1)3 3b = 2 a3 l ( a3 k + b3 ) - 2 k lco s2( a2 + b2 )3 3c = a2 l 2 - co s2( a2 + b2 ) ( l 2 + 1)ow33 3第 19 卷 第 1 期张之江等 : 平面度误差最小区域新算法 有序判别法19f 3 = | c3- c3|( 21)214搜索和判别 实际运算过程中 , 进行符合最小包容区域条件的包容平面的搜索和判别可以采用不同的 方法 。
14、作者采用的方法见程序流程图 4 。图 43运算例题根据上述原理和步骤 , 作者根据程序流程图 4 所示用 C 语言进行了编程 , 并进行了运算 。 例 1 测量数据如图 54, 设步距为 100mm , 按上述步骤及原理求得 :( 1) 最小二乘平面方程为 :162 x - 63 y + 1080 z - 20100 = 0( 2) 高点排序为 : B 2 , A 2 , C1 ;低点排序为 : C2 , B 1 , A 3 , A 1 , B 3 , C3( 3) 选第 1 、2 、3 低点 C2 、B 1 、A 3 构成的平面为初始评定平面 , 选第 1 高点 B 2 为初始评定点 。(
15、4) 初判是否符合三角形准则 , 如图 6 , 得 :图 6 A 3 = 36 . 86989765;图 5 B 1 = 71 . 56505118;C2 = 71 . 56505118;20计量学报1998 年 1 月1 = 26 . 56505118; 4 = 26 . 56505118; 由以上各角度值可得 B 1 合三角形准则 。2 = 45; 5 = 18 . 43494882;3 = 45; 6 = 18 . 43494882= 1 + 2 ; C2 = 3 + 4 ; A 3= 5 + 6 , 故可知初判符( 5) 过第 1 、2 、3 低点 C2 、B 1 、A 3 的平面方程为 :z = - 0 . 2 x + 0 . 1 y - 10 过第 1 高点 B 2 且平行于 ( 22) 的平面方程为 :z = - 0 . 2 x + 0 . 1 y - 90( 22)( 23)( 6) 经检验 , 该两平面包容全部测量数据 , 因此两平面即为符合最小区域的两包容面 。 由式 ( 22) 及 ( 23) 得平面度误差 f = 100m ,
