《高一数学必修一辅导练习册2.2.1（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修一辅导练习册2.2.1（二）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.1 函数的单调性函数的单调性(二二)明目标、知重点 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一1函数最大值定义设 yf(x)的定义域为 A，如果存在 x0A，使得对任意的 xA，都有 f(x)f(x0)，那么称f(x0)为 yf(x)的最大值，记为 ymaxf(x0)2函数最小值定义如果存在 x0A，使得对任意的 xA，都有 f(x)f(x0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值，记为 yminf(x0)3函数最值与单调性的联系(1)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)的
2、最大值为 f(b)，最小值为 f(a)(2)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)情境导学同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？“我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？答 我们班最高的男生是 A 同学，根据是班内任选一名男生，都一定比 A 同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生探究点一 函数的最大(小)值的概念思考 1 如图，气温 关于时间 t 的函数记为 f(t)，观察这个函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部位取得？函数的最大、最小值各是什么 ?答 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为 9；曲线的
3、最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为2.思考 2 根据思考 1 的讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定义吗？答 一般地，设 yf(x)的定义域为 A.如果存在 x0A，使得对于任意的 xA，都有 f(x)f(x0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最大值，记为 ymaxf(x0)如果存在 x0A，使得对任意的xA，都有 f(x)f(x0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值，记为 yminf(x0)例 1 下图是函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间解 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,4)，最低的点是(1.5，2)，所以当x3 时，函
4、数 yf(x)取得最大值，即 ymax4；当 x1.5 时，函数 yf(x)取得最小值，即 ymin2.函数的单调增区间为1.5,3，5,6；单调减区间为4，1.5，3,5，6,7反思与感悟 求函数的最大值或最小值时，一般都要说明函数值为最大值或最小值时对应的自变量的值即说明当 x 取什么值时，函数的最大值或最小值是什么跟踪训练 1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?解 作出函数 h(t
5、)4.9t214.7t18 的图象(如图)显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数 h(t)4.9t214.7t18，有：当 t1.5 时，函数有最大值 h29.14.72 4.94 4.9 1814.724 4.9于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m.例 2 求出下列函数的最小值：(1)yx22x；(2)y ，x1,31x解 (1)因为 yx22x(x1)211，且当 x1 时 y1，所以函数取得最小值1，即 ymin1.(2)因为对于任意实数 x1,3，都有
6、 ，且当 x3 时 ，所以函数取得最小值 ，即1x131x1313ymin .13反思与感悟 要熟记常见函数的单调性：一次函数 ykxb(k0)，当 k0 时单调递增，当k0 时，在(，上单调递减，在b2a，)上单调递增，a0 时，在(，0)和(0，)上都单b2akx调递减，当 k0，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以，函数 y在区间2,6上是减函数因此，函数 y在区间2,6的两个端点上分2x12x1别取得最大值与最小值，即 x2 时函数的值最大，最大值是 2，当 x6 时，函数的最小值是.25探究点二 函数最值与单调性的关系思考 1 已知函数
7、yf(x)在定义域a，b上单调，如何求函数的最值？答 如果函数 yf(x)在定义域a，b上单调递增，则 f(x)maxf(b)，f(x)minf(a)；如果函数yf(x)在定义域a，b上单调递减，则 f(x)maxf(a)，f(x)minf(b)思考 2 已知函数 yf(x)的定义域是a，b，a4 时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2.f(x)minError!.反思与感悟 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响跟踪训练 已知函数 f(x)x22x3，若 xt，t2，求函数 f(x
8、)的最值解 对称轴 x1，当 1t2 即 t1 时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当11 时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数最大值为 g(t)，最小值为 (t)时，则有g(t)Error!，(t)Error!.1函数 f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_答案 1、2解析 观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为 f(2)1，最高点的纵坐标为 2.2下列关于函数 f(x) 在1，)上的最值情况为_1x答案 有最大值 1，无最小值解析 函数 f(x) 是反比例函数，当 x(0，)时，函数
9、图象下降，1x所以在1，)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值3已知函数 f(x)x24xa，x0,1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为_答案 1解析 f(x)(x2)2a4，f(x)在0,1上单调递增f(x)minf(0)a2，f(x)maxf(1)1421.4判断函数 f(x)(x0)的单调性，并求出值域x2x1解 f(x)1，x2x1x13x13x1设 0x10，x210，于是 f(x1)f(x2)0，当|x|取最小值时，y 有最大值，所以当 x0 时，y 取最大值为 2，即 01，2x1x210，f(x1)f(x2)a 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)任取 x1，x22，)，且 x12，x1x24,10，3x1x2f(x1)f(x2)a 恒成立，只须 f(x)mina，即 a2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围解 (1)设 f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1，f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x，2axab2x，Error!，Error!，f(x)x2x1.(2)由题意，得：x2x12xm 在1,1上恒成立，即 x23x1m0 在1,1上恒成立令 g(x)x23x1m(x )2 m，3254其对称轴为 x ，32g(x)在区间1,1上是减函数，g(x)ming(1)131m0，m1.
