排列组合问题

《排列组合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、排列组合问题 1有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 54321120 种不同的排法，但是 因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120524 种。第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2 种排法，总共又2222232 种 综合两步，就有 2432768 种。 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119 种 B 36

2、 种 C 59 种 D 48 种 解： 5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 3、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不 同颜色的笔，问共有多少钟 .分析：分析：从 5 个元素中取 3 个的排列：P（5、3）=543=604、一个正方体，用 6 种颜色涂面，面与面之间颜色不同，问有多少种涂法？如果改为相邻 面 .http:/ 这里有详细的答案思考过程。 第一问：首先要明确什么叫正方体面相同。因为任何一个都有可能为底面，确定底面，确 定顶面再确定侧面是解这题的关键 先选

3、一个颜色定一个底面，比如用色 1， 5 种颜色选一个在顶面 5 中情况 4 种颜色排成一圈是（4-1）！ 6 种情况5*6 =30第二问 6 种颜色都用：这个就与第一问相同了，完全是等价的问题，所以是 30 种。 只用 5 种颜色：先选定 5 种颜色 C（5,6），然后只用 5 种颜色意味着有两面的颜色相同， 那么这两面必然是相对着的，我们优先考虑这两面。那么相同的这两面的颜色共有 5 种选 法。然后剩下 4 个面，注意此时这 4 个面不再是 6 种颜色都用的情况下的 3！了，因为前 面说了有两面颜色一样，这样种数变成 3！/2=3 种。所以一共 C（5,6）*5*3=90 种。 只用 4 种

4、颜色：先选 4 种颜色：C（4,6）=15 种，然后必须有两对面是相同的，C（2,4） =6 种，那么剩下两个面就确定了，而且本来剩下两个面应该是有两种情况，但由于对称， 导致情况唯一，所以一共 15*6=90 种。 只用 3 种颜色：先选 3 种颜色：C（3,6）=20 种，然后必然是 3 对面颜色相同，所以情况 唯一。因此是 20 种。 综上：30+90+90+20=230 种。 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方 案有几种解答解答：6543=360（种）小升初专题系列之排列组合知识点小升初专题系列之排列组合知识点来源：本站原创 文章作者

5、：匿名 2009-08-17 14:49:02标签：排列组合 小升初奥数精华资讯奥数精华资讯 免费订阅免费订阅解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻“问题可 以用“捆绑法“；“分离“问题可能用“插空法“等 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复“与“遗漏“ 互斥分类-分类法 先后有序-位置法 反面明了-排除法 相邻排列-捆绑法 分离排列-插空法 课后习题：1.用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复

6、的九位数，求符合要求的 九位数的个数？2. 9 个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？3. 今欲从 1，2，3，8，9，10，12 诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有 几种选法？4. 小明去商店买球，足球有 3 种不同的牌子，排球有 4 种牌子篮球有 5 种牌子 ，羽毛球有 6 种牌子，如果小明买 3 种球，每种一个，一共有多少 种不同的选 择方式？5. 一个四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，取其中 4 个点，则 四个点不共 面的取法有多少种？1.解：9987654323265920 个。 2.解：9 人围坐成一圈，每个人既是起点，又是终点，所以有 98765432940320 种坐法。

7、3.解：在 1，3，9 中任选两段：1，3；1，9；3，9 有 3 个组合. ?在 2，8，10，12 中任选两数：2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12.有 6 个组 合. ?根据分类计数原理，369. ?所以共有 9 种选法. 4.解：如买足球、排球、篮球共有 34*5=60 种， 如买足球、排球、羽毛球共有 346=72 种， 如买足球、篮球、羽毛球共有 356=90 种， 如买排球、篮球、羽毛球共有 456=120 种， 合起来共有 60+72+90+120=342 种。5.解：10 个点中取 4 个点的取法为 C(10)(4)=210 种 ； 共面的分三种情况：

8、1、四个点都在四面体的某一个面上，每个面 6 个点，有 652=15 种，四个面共有 415=60 种情况。 2、其中三点共线，另一个点与此三点不在四面体的某一个面上，而在与此三点所在直线异 面的那条直线的中点，显然只有 6 种情况(因为四面体只有 6 条边)。 3、其中两点所在直线与另两点所在直线平行，且这四个点也不在四面体的某一个面上，画 图可得出只有 3 种情况。因此，取四个不共面的点的不同取法共有：210-60-6-3=141小升初奥数专题讲解：排列与组合小升初奥数专题讲解：排列与组合来源：重庆奥数网整理 文章作者：奥数网编辑 2011-08-18 16:12:41标签：小升初 奥数

9、专题讲解 练习题奥数精华资讯奥数精华资讯 免费订阅免费订阅问题：问题：小明所在的班级要选出 4 名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也可以写自己的名字。 结果全班的每位同学都在自己的选票上写了 4 个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出 2 张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在 2 张选票上。 请问：小明所在的班级共有多少人？总体逻辑思路：总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存在。然后，得出班级人数。最后，构造出一个例子，说明确实存在这种情况。我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了 4 次。思路简介：思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了

10、4 次以上。由于平均每人被选了 4 次，既然没有人被选了 4 次以上，肯定也不存在被选了 4 次以下的人。所以，可以得到每个人恰好被选了 4 次。首先证明没有人被选了 4 次以上，我们用反证法。假设有一个人被选了 4 次以上（由于很容易证明这个班的人数肯定不少于 7 人，所以我们可以假设有一个人被选了 4 次以上），我们设这个人为 A 同学。接下来我们来证明这种情况不存在。把所有选择 A 同学的选票集中到一起，有 5 张或 5 张以上。方便起见，我们把这些选票编号，记为 A1 选票，A2 选票，A3 选票，A4 选票，A5 选票，。意思就是选择 A 同学的第 1 张选票，选择 A 同学的第 2

11、 张选票，。这些选票都选择了 A 同学。由于任意 2 张选票有且只有 1 个人相同，所以这些选票上除了 A 同学外，其他都是不同的人。我们还可以证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。既然这些（所有选 A 同学的选票）不是全部的选票，我们再拿一张没有选择 A 同学的选票。方便起见，称之为 B 选票。根据任意 2 张选票有且只有 1 个人相同，A1 选票上必有一个人和 B 选票上的一个人是相同的，而且这个人不是 A 同学。同样道理，第 A2、A3、A4、A5、上也必有一个人和 B 选票上的一个人是相同的，而且这个人不是 A 同学。由于 B 选票上只有 4 个不同的人，而 A1、A2、，

12、的数量大于 4.所以，A1、A2、A3、选票中至少有 2 张选票，除了 A 同学外还有一个共同的候选人。根据任意 2 张选票有且只有 1 个人相同，我们知道这是不可以的。所以，没有人被选了 4 次以上。由于平均每人被选 4 次，既然没有人被选 4 次以上，当然也就不可能有人被选 4 次以下。所以，每个人恰好被选了 4 次！证明了每个人都恰好被选了 4 次后，下面我们用两种方法来求出班级的人数。方法一：方法一：解方程设这一班有 n 个人，从 n 张选票里面任选 2 张有 C（n，2）=n（n-1）/2 种情况。由于任意 2 张选票都有且只有 1 个人相同，所以每一种情况都代表了一种 2 张选票重

13、复选择了同一个人的情况。（这句话不太好理解，暂时没有想到好的表述）每一个人都被选了 4 次，则 2 张选票重复选择了同一个人的情况又等于 nC（4，2）=6n所以 n（n-1）/2=6n 解得 n=13.方法二：方法二：分析论证，计算我们从所有选票中拿出一张，这张选票上有四个人，方便起见记为甲、乙、丙、丁四个人。除了我们拿出的这张选票外，所有选甲的选票组成集合甲.所有选乙的选票组成集合乙.所有选丙的选票组成集合丙.所有选丁的选票组成集合丁.由于每个人都恰好被选了 4 次，所以甲、乙、丙、丁四个集合中都有 3 个元素。而且这四个集合没有交集。每个集合有 3 张选票，再加上我们拿出的这张选票，一共

14、有 43+1=13 张选票，即 13个人。下面我们证明选票数不能多于 13 张。还是用反证法。假设选票数多于 13 张，我们从中取 14 张。从这 14 张选票中我们拿出一张称为 C 选票。除了 C 选票外还有 13 张选票，C 选票上有 4 个不同的人，这 13 张选票中的每一张都有一个人和 C 选票上的一个人是相同的。这样 13 张选票中至少有 4 张选择了 C 选票上的同一个人，这样再加上 C 选票，就有 5 个人选择了同一个人。根据前面的结论，没有人被选了 4 次以上，所以选票数不能多于 13 张。而且只能是 13 张。所以只有 13 张选票，即只有 13 个人。下面说明这种情况确实存

15、在。给出一种投票结果即可。（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）（2，5，8，11）（2，6，9，12）（2，7，10，13）（3，5，9，13）（3，6，10，11）（3，7，8，12）（4，5，10，12）（4，6，8，13）（4，7，9，11）方法三：方法三：网上搜到得一种方法，设班级有 x 个人，那么 x 张票中总共有 4x（有重复）个名字，也就是说班级里每个人的名字平均出现 4 次，（1） 如果有一个人的名字在所有票中都出现，那么 x 张票应该有不重复的名字 3x+1 个，这与班级有 x 个人矛盾，（2）如果一个人的名字在 5 张票中都出现过

16、，那么假设为（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）（1，14，15，16）那么你无法构造一个不包含 1，但与前面5 张票都有一个同名的票，所以一个人的名字在所有票中最多出现 4 次，并且每个人的名字在所有票中平均出现 4 次，那也就是说每个人的名字在所有票中出现 4 次假设包含 1 的票为（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）其中 2 出现了 1次，之后构造其他包含名字 2 的 3 张票为（2，5，8，11）（2，6，9，12）（2，7，10，13）之后构造分别包含名字 3，4 的各 3 张票。发现符合题意，所以这个班有 13 人。学而思奥数难题以小学 4-6 年级的杯赛题为来源，试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证；