勾股定理逆定理八种证明方法

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1、证法证法 1 1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在 一条直线上（设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c.）。过点 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上， 且 RtGEF RtEBD， EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形。 ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD， ABC = EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90

2、 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形。 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 证法证法 2 2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，做一 个边长为 c 的正方形。斜边长为 c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， B

3、CPM 是一个矩形，即MBC = 90。 QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， ， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF.即 证法证法 3 3作两个全等的直角三角形，同证法 2，再作一个边长为 c 的正方形。把它们拼 成如图所示的多边形. 分别以 CF，AE 为边长做正方形 FCJI 和 AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J 在同一直线上，CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90， RtCJB RtC

4、FD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ， BCJ +CBJ= 90， ABG +CBJ= 90， ABC= 90， G,B,I,J 在同一直线上， 。证法证法 4 4作三个边长分别为 a、b、c 的三角形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =. 同理

5、可证，矩形 MLEB 的面积 =. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 即 证法证法 5 5几何原本中的证明 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以 下证明后可成立。设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线 至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面 积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如 下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全 等。（SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意 一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个

6、四方形的面积等于其二边长 的乘积（据辅助定理 3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同 等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证 明如下： 设ABC 为一直角三角形，其直角为 CAB。其边为 BC、AB、和 CA， 依序绘成四方形 CBDE、BAGF 和 ACIH。画出过点 A 之 BD、CE 的平行线。此线将 分别与 BC 和 DE 直角相交于 K、L。分别连接 CF、AD，形成两个三角形 BCF、BDA。CAB 和BAG 都是直角，因此 C、A 和 G 都是线性对应的，同理 可证 B、A 和 H。CBD 和FBA 皆为直角，所以ABD 等于FBC。因为

7、 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。因为 A 与 K 和 L 是 线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。因为 C、A 和 G 有共同 线性，所以正方形 BAGF 必须二倍面积于FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同 的面积 BAGF = AB+ AC2; = BDBK + KLKC。由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于 CBDE 是个正方形，因 此 AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得几何原本一书第 1.47 节所提 出的 证法 6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）

8、 如图 1，RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高 通过证明三角形相 似则有射影定理如下： （BD）2;=ADDC， （AB）2;=ADAC ， （BC）2;=CDAC。 由公式+得：（AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD）AC=（AC）2；， 图 1 即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是 勾股定理的结论。 图 1证法证法 6 6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三 角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间 懂得小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a）2。于是

9、便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即： c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明 珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛 的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研 究，因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国 古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股， 斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前 1000 多年，据记载， 商高（约公元前 1120 年）答周公曰“故折矩，以

10、为句广三，股修四，径隅五。 既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。 ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前 7 至 6 世纪一中国学者 陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、 股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。 还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数 学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达 哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢 供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 前任美国第二十届总统

11、伽菲尔德证明了勾股定理（1876 年 4 月 1 日）。 1 周髀算经， 文物出版社，1980 年 3 月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5 页。 2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於汉学研究 ， 1989 年第 7 卷第 1 期，255-281 页。 3. 李国伟： 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章。刊於第二届科 学史研讨会汇刊， 台湾，1991 年 7 月， 227-234 页。 4. 李继闵：商高定理辨证。刊於自然科学史研究，1993 年第 12 卷第 1 期， 29-41 页。 5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於数学传播20 卷，台湾，

12、1996 年 9 月第 3 期， 20-27 页证法证法 7 7达芬奇的证法 三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前 后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式 相等，就能得出一个新的关系式勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有 这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道 EBCF， 又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形 ABOF 和 CDEO 都是正方形。 然后需要知道的是角 A和角 D都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结 AD， 因为对称的缘故，所以BAD=FAD=CDA=EDA=45，那么很明显，图三中 角

13、A和角 D都是直角。 证明： 第一张中多边形 ABCDEF 的面积 S1=S 正方形 ABOF+S 正方形 CDEO+2S BCO=OF2+OE2+OFOE 第三张中多边形 ABCDEF的面积 S2=S 正方形 BCEF+2CDE=EF2+CDDE 因为 S1=S2 所以 OF2+OE2+OFOE=EF2+CDDE 又因为 CD=CD=OE,DE=AF=OF 所以 OF2+OE2=EF2 因为 EF=EF 所以 OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。证法证法 8 8从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下： b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形） +（下方）2 个直角三角形+（上方）1 个直 角三角形。 （简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。